如图1,抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(﹣1,0)和点B(3,0).
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)如图2,该抛物线与y轴交于点C,顶点为F,点D(2,3)在该抛物线上.
①求四边形ACFD的面积;
②点P是线段AB上的动点(点P不与点A、B重合),过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q,连接AQ、DQ,当△AQD是直角三角形时,求出所有满足条件的点Q的坐标.
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如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)三点,点D与点C关于x轴对称,点P是线段AB上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q,交直线BD于点M.
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
(2)求证:∠ACB=90°;
(3)在点P运动过程中,是否存在点Q,使得△BQM是直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)连接AC,将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°,得到△A1O1C1,点A、O、C的对应点分别是点A1、O1、C1、若△A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“和谐点”,请直接写出“和谐点”的个数和点A1的横坐标.
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在“学本课堂”的实践中,王老师经常让学生以“问题”为中心进行自主、合作、探究学习.
(课堂提问)王老师在课堂中提出这样的问题:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,那么BC和AB有怎样的数量关系?
(互动生成)经小组合作交流后,各小组派代表发言.
(1)小华代表第3小组发言:AB=2BC. 请你补全小华的证明过程.
证明:把△ABC沿着AC翻折,得到△ADC.
∴∠ACD=∠ACB=90°,
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°,
即:点B、C、D共线.(请在下面补全小华的证明过程)
(2)受到第3小组“翻折”的启发,小明代表第2小组发言:如图2,在△ABC中,如果把条件“∠ACB=90°”改为“∠ACB=135°”,保持“∠BAC=30°”不变,若BC=1,求AB的长.
(思维拓展)如图3,在四边形ABCD中,∠BCD=45°,∠BAD=90°,∠ADB=∠CDB=60°,且AC=3,则△ABD的周长为 .
(能力提升)如图4,点D是△ABC内一点,AD=AC,∠BAD=∠CAD=20°,∠ADB+∠ACB=210°,则AD、DB、BC三者之间的相等关系是 .
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如图,平面直角坐标系中,直线y=-x+与坐标轴分别交于点A、B,且点C在x轴负半轴上,且AB:AC=1:2.
(1)求A、C两点的坐标;
(2)若点M从点C出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB运动,连接AM,设△ABM的面积为S,点M的运动时间为t,写出S关于t的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)点P是y轴上的点,在坐标平面内是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5,求BD的长.
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如图,△ABC中,AC=BC=10,cosC=,点P是AC边上一动点(不与点A、C重合),以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D,过点D作DE⊥CB于点E.
(1)当⊙P与边BC相切时,求⊙P的半径.
(2)连接BP交DE于点F,设AP的长为x,PF的长为y,求y关于x的函数解析式,并直接写出x的取值范围.
(3)在(2)的条件下,当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时,求相交所得的公共弦的长.
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如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x﹣3分别交x轴、y轴上的B、C两点,设该抛物线与x轴的另一个交点为点A,顶点为点D,连接CD交x轴于点E.
(1)求该抛物线的表达式及点D的坐标;
(2)求∠DCB的正切值;
(3)如果点F在y轴上,且∠FBC=∠DBA+∠DCB,求点F的坐标.
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阅读下面的情景对话,然后解答问题:
老师:我们新定义一种三角形,两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.
小华:等边三角形一定是奇异三角形!
小明:那直角三角形是否存在奇异三角形呢?
(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的命题:“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?
(2)在Rt△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且c>b>a,若Rt△ABC是奇异三角形,求a:b:c;
(3)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点(不与点A、B重合),D是半圆 中点,C、D在直径AB的两侧,若在⊙O内存在点E,使AE=AD,CB=CE.
①求证:△ACE是奇异三角形:
②当△ACE是直角三角形时,求∠AOC的度数.
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如图,菱形ABCD的边长为2cm,∠DAB=60°.点P从A点出发,以cm/s的速度,沿AC向C作匀速运动;与此同时,点Q也从A点出发,以1cm/s的速度,沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时,P、Q都停止运动,设点P运动的时间为t(s).
(1)对角线AC的长是 cm;
(2)当P异于A、C时,请说明PQ∥BC;
(3)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t为怎样的值时,⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点?
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如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=3.点E是CD上的动点,以AE为直径的⊙O与AB交于点F,过点F作FG⊥BE于点G.
(1)若E是CD的中点时,证明:FG是⊙O的切线
(2)试探究:BE能否与⊙O相切?若能,求出此时DE的长;若不能,请说明理由.
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