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本卷共 26 题，其中：
填空题 1 题，解答题 25 题
中等难度 26 题。总体难度: 中等
填空题 共 1 题
  1. 若集合A={x|（x-1）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有________个元素．

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 25 题
  1. 若函数最小正周期为，则ω=________．

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是________．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b=________．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知向量和的夹角为120°，，则=________．

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是________．

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 某地区为了解70-80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：
    序号i 分组
    （睡眠时间）     		组中值（Gi） 频数
    （人数）     		频率（Fi）
    1 [4，5） 4.5 6 0.12
    2 [5，6） 5.5 10 0.20
    3 [6，7） 6.5 20 0.40
    4 [7，8） 7.5 10 0.20
    5 [8，9] 8.5 4 0.08
    在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为________．

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为 ________．

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为，请你完成直线OF的方程：________．

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为________．

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 设x，y，z为正实数，满足x-2y+3z=0，则的最小值是________．

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为________．

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是________．

    难度: 中等查看答案及解析

  13. f（x）=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0成立，则a=________．

    难度: 中等查看答案及解析

  14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．
    （1）求tan（α+β）的值；
    （2）求α+2β的值．

    难度: 中等查看答案及解析

  15. 如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：
    （1）直线EF∥面ACD；
    （2）平面EFC⊥面BCD．

    难度: 中等查看答案及解析

  16. 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
    （1）按下列要求建立函数关系式：
    （i）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；
    （ii）设OP=x（km），将y表示成x的函数；
    （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．

    难度: 中等查看答案及解析

  17. 在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．
    （1）求实数b的取值范围；
    （2）求圆C的方程；
    （3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．

    难度: 中等查看答案及解析

  18. （1）设a1，a2，…，an是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
    （i）当n=4时，求的数值；
    （ii）求n的所有可能值．
    （2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1，b2，…，bn，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．

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  19. 已知函数，（x∈R，p1，p2为常数）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，
    （1）求f（x）=f1（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；
    （2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）

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  20. 如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：ED2=EB•EC．

    难度: 中等查看答案及解析

  21. 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．

    难度: 中等查看答案及解析

  22. 在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆上的一个动点，求S=x+y的最大值．

    难度: 中等查看答案及解析

  23. 设a，b，c为正实数，求证：．

    难度: 中等查看答案及解析

  24. 记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上一点，记．当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．

    难度: 中等查看答案及解析

  25. 请先阅读：
    在等式cos2x=2cos2x-1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x-1）′，由求导法则，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．
    （1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整数n≥2），证明：．
    （2）对于正整数n≥3，求证：
    （i）；
    （ii）；
    （iii）．

    难度: 中等查看答案及解析