2012年辽宁省大连市高考数学压轴卷（理科）（解析版）

试卷详情

本卷共 50 题，其中：
选择题 30 题，填空题 8 题，解答题 12 题
中等难度 50 题。总体难度: 中等

选择题共 30 题

在各项都为正数的等比数列{a_n}中，首项a₁=3，前三项和为21，则a₃+a₄+a₅=（）
A．33
B．72
C．84
D．189
难度: 中等查看答案及解析
若集合M={x|-2＜x＜3}，N={y|y=x²+1，x∈R}，则集合M∩N=（）
A．（-2，+∞）
B．（-2，3）
C．[1，3）
D．R
难度: 中等查看答案及解析
下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）
A．a＞b+1
B．a＞b-1
C．a²＞b²
D．a³＞b³
难度: 中等查看答案及解析
已知函数f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+1）+f（x）=3，当x∈[0，1]时，f（x）=2-x，则f（-2007.5）的值为（）
A．0.5
B．1.5
C．-1.5
D．1
难度: 中等查看答案及解析
设f（x）在区间（-∞，+∞）可导，其导数为f′（x），给出下列四组条件p是q的充分条件的是（）
①p：f（x）是奇函数，q：f′（x）是偶函数
②p：f（x）是以T为周期的函数，q：f′（x）是以T为周期的函数
③p：f（x）在区间（-∞，+∞）上为增函数，q：f′（x）＞0在（-∞，+∞）恒成立
④p：f（x）在x处取得极值，q：f′（x）=0．
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
难度: 中等查看答案及解析
已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＜m}，且A∪B=R，那么m的值可以是（）
A．-1
B．0
C．1
D．2
难度: 中等查看答案及解析
复数的共轭复数是a+bi（a，b∈R），i是虚数单位，则ab的值是（）
A．-7
B．-6
C．7
D．6
难度: 中等查看答案及解析
已知i是虚数单位，m、n∈R且m+i=1+ni，则=（）
A．-1
B．1
C．-i
D．i
难度: 中等查看答案及解析
已知命题，命题，则下列说法正确的是（）
A．p是q的充要条件
B．p是q的充分不必要条件
C．p是q的必要不充分条件
D．p是q的既不充分也不必要条件
难度: 中等查看答案及解析
已知数列{a_n}，那么“对任意的n∈N^*，点P_n（n，a_n）在直线y=2x+1上”是“{a_n}为等差数列”的（）
A．必要而不充分条件
B．既不充分也不必要条件
C．充要条件
D．充分而不必要条件
难度: 中等查看答案及解析
执行右边的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为（）

A．n≤5
B．n≤6
C．n≤7
D．n≤8
难度: 中等查看答案及解析
阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（）
A．（-∞，-2]
B．[-2，-1]
C．[-1，2]
D．[2，+∞）
难度: 中等查看答案及解析
要得到函数y=sin（2x+）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）
A．向左平移单位
B．向右平移单位
C．向右平移单位
D．向左平移单位
难度: 中等查看答案及解析
已知，则=（）
A．
B．
C．-1
D．±1
难度: 中等查看答案及解析
如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（-1）=（）

A．2
B．
C．
D．-2
难度: 中等查看答案及解析
设向量、满足：||=1，||=2，•（-）=0，则与的夹角是（）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
难度: 中等查看答案及解析
如图，O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则的值（）

A．
B．12
C．6
D．5
难度: 中等查看答案及解析
几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）

A．
B．
C．
D．
难度: 中等查看答案及解析
如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′-BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）

A．
B．3π
C．
D．2π
难度: 中等查看答案及解析
，则实数a取值范围为（）
A．（-∞，-1）∪[1，+∞）
B．[-1，1]
C．（-∞，-1]∪[1，+∞）
D．（-1，1]
难度: 中等查看答案及解析
已知正项等比数列{a_n}满足：a₃=a₂+2a₁，若存在两项a_m，a_n，使得，则的最小值为（）
A．
B．
C．
D．不存在
难度: 中等查看答案及解析
将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为（）
A．10
B．20
C．30
D．40
难度: 中等查看答案及解析
现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有（）
A．6
B．8
C．12
D．16
难度: 中等查看答案及解析
若等比数列{a_n}的前n项和，则a₂=（）
A．4
B．12
C．24
D．36
难度: 中等查看答案及解析
已知F₁、F₂分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）
A．2
B．3
C．4
D．5
难度: 中等查看答案及解析
长为l（l＜1）的线段AB的两个端点在抛物线y²=x上滑动，则线段AB中点M到y轴距离的最小值是（）
A．
B．
C．
D．
难度: 中等查看答案及解析
若圆C：x²+y²+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）所作的切线长的最小值是（）
A．2
B．3
C．4
D．6
难度: 中等查看答案及解析
函数的图象为（）
A．
B．
C．
D．
难度: 中等查看答案及解析
若a满足x+lgx=4，b满足x+10^x=4，函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=x的解的个数是（）
A．1
B．2
C．3
D．4
难度: 中等查看答案及解析
设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）-g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x²-3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）
A．（-，-2]
B．[-1，0]
C．（-∞，-2]
D．（-，+∞）
难度: 中等查看答案及解析

填空题共 8 题

为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份注射疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为________万只．

月份养鸡场（个数）

9 20

10 50

11 100

难度: 中等查看答案及解析
设抛物线C：y²=2px（p＞0）焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线交抛物线C于A、B两点，若∠QBF=90°，则|AF|-|BF|=________．
难度: 中等查看答案及解析
一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________．

难度: 中等查看答案及解析
的展开式中x²项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是________．
难度: 中等查看答案及解析
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则b²+c²的取值范围为________．
难度: 中等查看答案及解析
已知z=2x+y，x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是________．
难度: 中等查看答案及解析
抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，事件B={1，2，4，5，6}，则P（A|B）的值为________．
难度: 中等查看答案及解析
记S_k=1^k+2^k+3^k+…+n^k，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：S₁=n，S₂=n，S₃=，S₄=n，S₅=An⁶+，…可以推测，A-B=________．
难度: 中等查看答案及解析

解答题共 12 题

已知函数f（x）=sin2x-cos²x-，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．
难度: 中等查看答案及解析
已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对∀n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．
难度: 中等查看答案及解析
形状如图所示的三个游戏盘中（图1是正方形，M、N分别是所在边中点，图2是半径分别为2和4的两个同心圆，O为圆心，图3是正六边形，点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．
（I）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？
（II）用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
难度: 中等查看答案及解析
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）
（I）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（II）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列；
（III）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．
难度: 中等查看答案及解析
如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤1）．
（1）求证：对任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE；
（2）若二面角C-AE-D的大小为60°，求λ的值．

难度: 中等查看答案及解析
已知两点A（-1，0）、B（1，0），点P（x，y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点Q（x，）满足．
（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程；
（2）过点B作斜率为的直线l交曲线C于M、N两点，且满足，又点H关于原点O的对称点为点G，试问四点M、G、N、H是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．
难度: 中等查看答案及解析
本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理论证的能力．
如图，在平面直角坐标系xOy，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）．过抛物线在x轴上方的不同两点A、B，作抛物线的切线AC、BD，与x轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求证：MN⊥x轴；
（3）若直线MN与x轴的交点恰为F（1，0），求证：直线AB过定点．

难度: 中等查看答案及解析
已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．
难度: 中等查看答案及解析
已知函数在x=1处取得极值2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）设A是曲线y=f（x）上除原点O外的任意一点，过OA的中点且垂直于x轴的直线交曲线于点B，试问：是否存在这样的点A，使得曲线在点B处的切线与OA平行？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设函数g（x）=x²-2ax+a，若对于任意x₁∈R的，总存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁），求实数a的取值范围．
难度: 中等查看答案及解析
如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，过点A作⊙O₁的切线交⊙O₂于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O₁、⊙O₂于点D、E，DE与AC相交于点P．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD是⊙O₂的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．

难度: 中等查看答案及解析
已知直线l：（t为参数），曲线C₁：（θ为参数）．
（Ⅰ）设l与C₁相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C₁上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C₂，设点P是曲线C₂上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
难度: 中等查看答案及解析
已知函数f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-m）．
（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．
难度: 中等查看答案及解析

月份	养鸡场（个数）
9	20
10	50
11	100