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本卷共 22 题,其中:
选择题 12 题,填空题 4 题,解答题 6 题
中等难度 22 题。总体难度: 中等
选择题 共 12 题
  1. 设a,b,c∈R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是( )
    A.ad-bc=0
    B.ac-bd=0
    C.ac+bd=0
    D.ad+bc=0

    难度: 中等查看答案及解析

  2. f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是( )
    A.-2
    B.0
    C.2
    D.4

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是( )
    A.甲
    B.乙
    C.丙
    D.丁

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  4. 设连续函数f(x)>0,则当a<b时,定积分∫abf(x)dx的符号( )
    A.一定是正的
    B.一定是负的
    C.当0<a<b时是正的,当a<b<0时是负的
    D.以上结论都不对

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 当x≠0时,有不等式( )
    A.ex<1+
    B.ex>1+
    C.当x>0时ex<1+x,当x<0时ex>1+
    D.当x<0时ex<1+x,当x>0时ex>1+

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 在复平面内,复数对应的点位于( )
    A.第一象限
    B.第二象限
    C.第三象限
    D.第四象限

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  7. 已知向量=(2,4,x),=(2,y,2),若,则x+y的值是( )
    A.-3或1
    B.3或1
    C.-3
    D.1

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 如果双曲线的两个焦点分别为F1(-3,0)、F2(3,0),一条渐近线方程为,那么它的两条准线间的距离是( )
    A.
    B.4
    C.2
    D.1

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为( )
    A.
    B.
    C.
    D.

    难度: 中等查看答案及解析

  10. PA、PB、PC是从P点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为60°,那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( )

    A.
    B.
    C.
    D.

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( )
    A.
    B.
    C.
    D.3

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  12. 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1和直线BC的距离相等,则动点P所在曲线形状为( )

    A.
    B.
    C.
    D.

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填空题 共 4 题
  1. 计算下列定积分(x+sinx)dx=________.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 观察圆周上n个不同点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3个点可以连3条弦,4个点可以连6条弦,5个点可以连10条弦,即f(2)=1,f(3)=3,f(4)=6,f(5)=10…,由此规律可归纳得出f(n)=________(n≥2).

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  3. 已知函数f(x)=x3+ax2-2x+5在上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且函数f(x)的导数记为f'(x),则下列结论正确的是________.(填序号)
    是方程f'(x)=0的根;②1是方程f'(x)=0的根;③有极小值f(1);④有极大值; ⑤

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  4. 若三角形的内切圆半径为r,三边的长分别为a,b,c,则三角形的面积S=r(a+b+c),根据类比思想,若四面体的内切球半径为R,四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,则此四面体的体积V=________.

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解答题 共 6 题
  1. 已知数列{an},a1=1,且满足关系an-an-1=2(n≥2),
    (1)写出a2,a3,a4,的值,并猜想{an}的一个通项公式.
    (2)利用数学归纳法证明你的结论.

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  2. 设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1.
    (Ⅰ)求f(x)的单调区间;
    (Ⅱ)讨论f(x)的极值.

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  3. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
    (1)证明:D1E⊥A1D;
    (2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;
    (3)AE等于何值时,二面角D1-EC-D的大小为

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  4. (一)已知a,b,c∈R+
    ①求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ac;
    ②若a+b+c=1,利用①的结论求ab+bc+ac的最大值.
    (二)已知a,b,x,y∈R+
    ①求证:
    ②利用①的结论求的最小值.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为xcm的相等的正方形,然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子,要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数k(k>0),
    (1)用x和k表示出长方体的体积的表达式V=V(x),并给出函数的定义域;
    (2)问x取何值时,盒子的容积最大,最大容积是多少?

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  6. 抛物线方程为y2=p(x+1)(p>0),直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边.
    (1)求证:直线与抛物线总有两个交点;
    (2)设直线与抛物线的交点为Q、R,OQ⊥OR,求p关于m的函数f(m)的表达式;
    (3)在(2)的条件下,若m变化,使得原点O到直线QR的距离不大于,求p的值的范围.

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