2019届福建省高三下学期高考模拟（最后一模）数学（理）试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 3 题，中等难度 15 题，困难题 5 题。总体难度: 中等

单选题共 12 题

设集合，若，则的值可以是（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为，且，若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（　　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的（　　）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

难度: 简单查看答案及解析
已知奇函数，当时单调递增，且，若，则的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知，点为斜边的中点，，，，则等于（　　）
A.-14 B.-9 C.9 D.14

难度: 中等查看答案及解析
执行如图所示的程序框图，输出的值为
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。现从该小组中选出3位同学分别到，，三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（　　）
A.70种 B.140种 C.420种 D.840种

难度: 简单查看答案及解析
将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数为偶函数，则函数在的值域为（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列命题错误的是（　　）
A.异面直线和所成的角为定值 B.直线和平面平行
C.三棱锥的体积为定值 D.直线和平面所成的角为定值

难度: 中等查看答案及解析
将函数（为自然对数的底数）的图象绕坐标原点顺时针旋转角后第一次与轴相切，则角满足的条件是（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知双曲线的左，右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，线段交左支于点.若，且，则该双曲线的离心率为（　　）
A. B. C. D.

难度: 困难查看答案及解析
已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则=(　　 )
A. B. C. D.

难度: 困难查看答案及解析

填空题共 4 题

展开式中的系数为________.

难度: 中等查看答案及解析
记不等式组的解集为，若、，，则实数的最小值是______.

难度: 中等查看答案及解析
已知抛物线的焦点为，是上一点，且，设点是上异于点的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交于点则直线过定点，定点坐标为__________.

难度: 中等查看答案及解析
在平面四边形中，，，，，则四边形的面积的最大值为_________.

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 7 题

已知等差数列前项和为，，数列的前项和为，，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，，求的值

难度: 中等查看答案及解析
在四边形中，，，，，，是上的点，，为的中点．将沿折起到的位置，使得.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值.

难度: 中等查看答案及解析
随着节能减排意识深入人心以及共享单车在饶城的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车．为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：

每周使用次数

1次

2次

3次

4次

5次

6次及以上

男

4

3

3

7

8

30

女

6

5

4

4

6

20

合计

10

8

7

11

14

50

（1）如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请完成列表（见答题卡），并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关？
（2）每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，视频率为概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户．
①求抽取的4名用户中，既有男生“骑行达人”又有女“骑行达人”的概率；
②为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X，求X的分布列及数学期望．
附表及公式：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

难度: 中等查看答案及解析
如图，已知椭圆的左、右顶点为，，上、下顶点为，，记四边形的内切圆为.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知圆的一条不与坐标轴平行的切线交椭圆于P，M两点.
（i）求证：；
（ii）试探究是否为定值.

难度: 困难查看答案及解析
设函数.
（1）若函数在区间（为自然对数的底数）上有唯一的零点，求实数的取值范围；
（2）若在（为自然对数的底数）上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

难度: 困难查看答案及解析
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.为曲线上的动点，点在射线上，且满足.
（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）设与轴交于点，过点且倾斜角为的直线与相交于两点，求的值.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析

每周使用次数	1次	2次	3次	4次	5次	6次及以上
男	4	3	3	7	8	30
女	6	5	4	4	6	20
合计	10	8	7	11	14	50

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828