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本卷共 23 题,其中:
单选题 12 题,填空题 4 题,解答题 7 题
简单题 11 题,中等难度 10 题,困难题 2 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题
  1. 已知集合,则(   )

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. ,则复平面内对应的点位于(   )

    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知向量,若,则(   )

    A.-2 B.2 C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. ,则下列不等式正确的是(   )

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 胡夫金字塔的形状为四棱锥,1859年,英国作家约翰·泰勒(,781—1864)在其《大金字塔》一书中提出:古埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金比例(),泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载:胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方.如图,若,则由勾股定理,,即,因此可求得为黄金数.已知四棱锥底面是边长约为756英尺的正方形(),顶点的投影在底面中心中点.根据以上信息,的长度(单位:英尺)约为(   )

    A.233.6 B.481.4 C.512.4 D.611.6

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 某食品厂做了4种与“福”字有关的卡片,分别是“富强福”、“民主福”、“文明福”、“和谐福”,每袋食品随机等可能的装入一张卡片,只有集齐4种卡片才可获奖,若购买该食品4袋,获奖的概率为(   )

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 函数则函数的零点个数为(   )

    A.2 B.3 C.4 D.5

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 执行如图的程序框图,如果输出的,则图中判断框内应填入(   )

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  9. 已知等比数列的各项都是正数,为其前项和,若,则(   )

    A.40 B.56 C.72 D.120

    难度: 简单查看答案及解析

  10. 已知椭圆的右焦点为,点上,为坐标原点,若,则的面积为(   )

    A. B. C.1 D.2

    难度: 简单查看答案及解析

  11. 已知函数,若且在上有且仅有三个零点,则(   )

    A.或6 B.或8 C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 在棱长为2的正方体中,为线段的中点,在平面中取一个点,连接,则的最小值为(   )

    A. B. C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

填空题 共 4 题
  1. 曲线在点处的切线方程为______.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 为等差数列的前项和.若,则______.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知随机变量,且,则______.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 已知双曲线)的左、右焦点分别为,过的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,若是线段的中点,且,则双曲线的离心率为______.

    难度: 简单查看答案及解析

解答题 共 7 题
  1. 中,内角所对的边长分别为.

    (1)求

    (2)若边的中点,求的长.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 如图,在直四棱柱中,底面为等腰梯形,,且为棱中点,为棱中点.

    (1)证明:平面

    (2)求锐二面角的余弦值.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且每个人只派一次,工作时间不超过10分钟,如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出,再派下一个人.现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别为,假设互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

    (1)如果按甲最先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化?

    (2)假定,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知动圆P与圆内切,且与直线相切,设动圆圆心的轨迹为曲线.

    (1)求曲线的方程;

    (2)过曲线上一点)作两条直线与曲线分别交于不同的两点,若直线的斜率分别为,且.证明:直线过定点.

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 定义在的函数的导函数为.

    证明:(1)在区间存在唯一极小值点;

    (2)有且仅有2个零点.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 已知斜率为1的直线经过点.

    (1)写出直线的参数方程;

    (2)设直线与圆相交于两点,求的值.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知函数.

    (1)求的最大值;

    (2)若关于的不等式有解,求实数的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析