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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 10 题，中等难度 11 题，困难题 2 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题

  1. 复数满足，则复数的共轭复数（　　 ）

    A.2 B.-2 C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知命题：，；命题：若，则，下列命题为假命题的是（　　 ）

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中的系数为（　　 ）

    A.20 B.30 C.40 D.50

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第三天走的路程里数为（　　 ）

    A.192 B.48 C.24 D.88

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 的内角、、的对边分别为、、，若，，成等比数列，且，则的值为（　　 ）

    A. B. C.1 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 执行如图的程序框图，若输出的，则输入整数的最大值是(　　 )

    A.15 B.16 C.31 D.32

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知变量，具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若关于的线性回归方程为，则的值为（　　 ）

    1

    2

    3

    4

    0.1

    1.8

    4

    A.3.1 B.2.9 C.2 D.3

    难度: 简单查看答案及解析

  8. 已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为（　　 ）

    A. B. C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 如图，在中，，，，则的值为（　　 ）

    A.3 B.8 C.12 D.16

    难度: 简单查看答案及解析

  10. 通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量，且.则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（　　 ）（参考数据：若，有，，）

    A.0.0456 B.0.6826

    C.0.9987 D.0.9772

    难度: 简单查看答案及解析

  11. 在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点的轨迹可能是（　　 ）

    ①直线　　 ②圆　　 ③椭圆　　 ④抛物线

    A.①② B.①③ C.①②③ D.②④

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“距零点函数”.若与（为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数的取值范围为（　　 ）

    A. B.

    C. D.

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 的值为______.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知函数与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是______.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 一个圆上有8个点，每两点连一条线段.若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为______（用数字回答）.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 已知，且，则的最小值为______.

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 7 题

  1. 已知圆柱底面半径为1，高为，是圆柱的一个轴截面，动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示.将轴截面绕着轴逆时针旋转后，边与曲线相交于点.

    （1）求曲线的长度；

    （2）当时，求点到平面的距离.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 已知数列的前项和为,其中为常数.

    (1)证明: ；

    (2)是否存在实数,使得数列为等比数列,若存在,求出;若不存在,说明理由.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图，过抛物线上一点，作两条直线分别交抛物线于，，当与的斜率存在且倾斜角互补时：

    （Ⅰ）求的值；

    （Ⅱ）若直线在轴上的截距时，求面积的最大值．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 为响应“文化强国建设”号召，并增加学生们对古典文学的学习兴趣，雅礼中学计划建设一个古典文学熏陶室.为了解学生阅读需求，随机抽取200名学生做统计调查.统计显示，男生喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女生喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人.

    (1)能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？

    (2)为引导学生积极参与阅读古典文学书籍，语文教研组计划牵头举办雅礼教育集团古典文学阅读交流会.经过综合考虑与对比，语文教研组已经从这200人中筛选出了5名男生代表和4名女生代表，其中有3名男生代表和2名女生代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加交流会，记为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求的分布列及数学期望.

    附：，其中.

    参考数据：

    0.50

    0.40

    0.25

    0.15

    0.10

    0.05

    0.455

    0.708

    1.323

    2.072

    2.706

    3.841

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 已知函数

    （1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；

    （2）当时，证明：．

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 已知直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.

    （1）求曲线的右顶点到直线的距离；

    （2）若点的坐标为，设直线与曲线交于，两点，求的值.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. （1）已知，，都是正实数，证明：；

    （2）已知，，，，，都是正实数，且满足不等式组：，求的值.

    难度: 中等查看答案及解析