黑龙江省哈尔滨市2019届高三12月月考数学（理）试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 6 题，中等难度 14 题，困难题 3 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

复数，（是虚数单位），则复数的虚部为（　　）
A. 　　 B. 1　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
已知集合，集合,则图中的阴影部分表示的集合是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
设向量，满足，，则（　　）
A. 6　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
下列命题中错误的是（　　）
A. 命题“若，则”的逆否命题是真命题
B. 命题“”的否定是“”
C. 若为真命题，则为真命题
D. 已知，则“”是“”的必要不充分条件

难度: 简单查看答案及解析
过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）
A. 　　 B. 1　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
朱载堉（1536—1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子。他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”。“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为，第八个音的频率为，则等于（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
已知，则的值是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数是奇函数，其中，则函数的图象（　　）
A. 关于点对称　　 B. 关于直线对称
C. 可由函数图象向右平移个单位得到　　 D. 可由函数图象向左平移个单位得到

难度: 中等查看答案及解析
已知，，若存在两个零点，则的取值范围是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 困难查看答案及解析
函数（其中）的图像不可能是（　　）
A. 　　 B.
C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知，则不可能满足的关系是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

某多面体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，该多面体的各个面中有若干个是等腰三角形，这些等腰三角形的面积之和为______________________

难度: 简单查看答案及解析
已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为_______________

难度: 中等查看答案及解析
已知数列满足，则该数列的前20项和为____________________

难度: 中等查看答案及解析
如图，已知一个八面体的各条棱长均为，四边形为正方形，给出下列命题：
①不平行的两条棱所在的直线所成的角是或；　 ②四边形是正方形；
③点到平面的距离为；　 ④平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
其中正确的命题全部序号为_________________

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 7 题

如图，在中，是边上的一点，，，.
（1）求的长；（2）若，求的值.

难度: 中等查看答案及解析
已知数列满足，且， .
（1）设，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.

难度: 中等查看答案及解析
如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.

难度: 中等查看答案及解析
已知椭圆．
（1）若椭圆的离心率为，求的值；　　　　
（2）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

难度: 困难查看答案及解析
已知，.
（1）当时，求证：；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.

难度: 困难查看答案及解析
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：为参数，，曲线C的极坐标方程为：．
写出曲线C的直角坐标方程；
设直线l与曲线C相交于P，Q两点，若，求直线l的斜率．

难度: 中等查看答案及解析
选修4—5：不等式选讲
设函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析