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本卷共 23 题,其中:
单选题 12 题,填空题 4 题,解答题 7 题
简单题 8 题,中等难度 15 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题
  1. 集合,则(   )

    A. B.

    C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 是1和4的等比中项”是“”的(   )

    A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

    C.充要条件 D.即非充分也非毕必要条件

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 若复数的共轭复数满足:,则复数等于(   )

    A. B.

    C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 每场足球比赛的时间长度为90分钟,若比赛过程中体力消耗过大,运动员腿部会发生抽筋现象,无法继续投入到比赛之中了.某足球运动员在比赛前70分钟抽筋的概率为20%,比赛结束前发生抽筋的概率为50%.若某场比赛中该运动员已经顺利完成了前70分钟的比赛,那么他能顺利完成90分钟比赛的概率为(   )

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 中,,则的最大值是(   )

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 如图,在长方体中,分别是的中点则异面直线所成角的余弦值为(   )

    A. B. C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 如图,在正方体中,点分别为线段的中点,用平面截正方体,保留包含点在内的几何体,以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图,则主视图为(   )

    A. B.

    C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  8. 恒成立,则实数的取值范围是(   )

    A. B. C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 设点是双曲线上的一点,分别是双曲线的左、右焦点,已知,且,则双曲线的一条渐近线方程是(   )

    A. B. C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 将6枚硬币放入如图所示的9个方格中,要求每个方格中至多放一枚硬币,并且每行每列都有2枚硬币,则放置硬币的方法共有(   )种.

    A.6 B.12 C.18 D.36

    难度: 简单查看答案及解析

  11. 设等差数列的前项和为,已知为整数,且数列的最大项为,取,则的最大项为(   )

    A. B. C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 已知对于任意的,总有成立,其中为自然对数的底数,则的最小值为(   )

    A. B. C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

填空题 共 4 题
  1. 若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则正实数______.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围是______.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知均为非零向量,且,若恒成立,则实数的取值范围为______.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知某款冰淇淋的包装盒为圆台,盒盖为直径为的圆形纸片,每盒冰淇淋中包含有香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一个,假定每个冰淇淋球都是半径为的球体,三个冰淇淋球两两相切,且都与冰淇淋盒盖、盒底和盒子侧面的曲面相切,则冰淇淋盒的体积为______.

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 7 题
  1. 如图所示,在三棱柱中,,平面平面

    (1)证明:

    (2)若分别为的中点,求直线与平面的夹角.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 已知函数,在上的最大值为3.

    (1)求的值及函数的周期与单调递增区间;

    (2)若锐角中,角所对的边分别为,且,求的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 对同学们而言,冬日的早晨离开暖融融的被窝,总是一个巨大的挑战,而咬牙起床的唯一动力,就是上学能够不迟到.己知学校要求每天早晨7:15之前到校,7:15之后到校记为迟到.小明每天6:15会被妈妈叫醒起味,吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时,故每天6:45小明就可以出门去上学.从家到学校的路上,若小明选择步行到校,则路上所花费的时间相对准确,若以随机变量(分钟)表示步行到校的时间,可以认为.若小明选择骑共享单车上学,虽然骑行速度快于步行,不过由于车况、路况等不确定因素,路上所需时间的随机性增加,若以随机变量(分钟)描述骑车到校的时间,可以认为.若小明选择坐公交车上学,速度很快,但是由于等车时间、路况等不确定因素,路上所需时间的随机性进一步增加,若以随机变量(分钟)描述坐公交车到校所需的时间,则可以认为

    (1)若某天小明妈妈出差没在家,小明一觉醒来已经是6:40了,他抓紧时间洗漱更衣,没吃早饭就出发了,出门时候是6:50.请问,小明是否有某种出行方案,能够保证上学不迟到?小明此时的最优选择是什么?

    (2)已知共享单车每20分钟收费一元,若小明本周五天都骑共享单车上学,以随机变量表示这五天小明上学骑车的费用,求的期望与方差(此小题结果均保留三位有效数字)

    已知若随机变量,则%,%,%.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知,从原点图像的切线,切点为,已知,其中为自然对数的底数.

    (1)求的值;

    (2)若有两个极值点

    (i)求参数的范围;

    (ii)若假定,求的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 已知抛物线的焦点为,直线过点,且与抛物线交于两点,

    (1)求的取值范围;

    (2)若,点的坐标为,直线与抛物线的另一个交点为,直线与抛物线的另一个交点为,直线轴交于点,求的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为,射线与曲线交于点,点满足,设倾斜角为的直线经过点

    (1)求曲线的直角坐标方程及直线的参数方程;

    (2)直线与曲线交于两点,当为何值时,最大?求出此最大值.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知正实数满足

    (1)若,求的范围;

    (2)求的最小值.

    难度: 中等查看答案及解析