2020年1月广东省大联考高三数学（理科）试卷

试卷详情

本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 8 题，中等难度 13 题，困难题 2 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

在复平面内对应的点位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

难度: 简单查看答案及解析
已知集合，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知椭圆：的焦距为2，且短轴长为6，则的方程为（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
2019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注，还得到了无数外国人的关注.某单位有10位外国人，其中关注此次大阅兵的有8位，若从这10位外国人中任意选取3位做一次采访，则被采访者中至少有2位关注此次大阅兵的概率为（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
在四棱锥中，，，，则（　　）
A.2 B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知，且，则（　　）
A.2 B. C.3 D.

难度: 简单查看答案及解析
在平行四边形中，，，，，，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
我国古代数学名著《九章算术》里有一个这样的问题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价几何？”为了解决这个问题，某人设计了如图所示的程序框图，运行该程序框图，则输出的，分别为（　　）
A.30，8900 B.31，9200 C.32，9500 D.33，9800

难度: 简单查看答案及解析
已知函数，若将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线，则不等式的解集是（　　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
现有三条曲线：
①曲线；②曲线；③曲线.直线与其相切的共有（　　）
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条

难度: 简单查看答案及解析
已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为的左、右焦点，为虚轴的一个端点，若的最小值为，则的离心率为（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数为偶函数，当时，，则（　　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

上海地铁11号线是世界最长的地铁截至2019年9月28日，中国已开通地铁的城市有41个，按照地铁的全长排名，排在前四名的依次为上海、北京、广州、南京，则这四个城市的地铁全长的平均值为______.

难度: 简单查看答案及解析
已知，，现有下列四个结论：
①；②；③；④.其中所有正确结论的编号是______.

难度: 中等查看答案及解析
设，，分别为内角，，的对边.已知，则______，的取值范围为______.

难度: 中等查看答案及解析
设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，，则当三棱锥的体积最大时，球的表面积为______.

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 7 题

如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.
（1）证明：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

难度: 中等查看答案及解析
在数列中，，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.

难度: 中等查看答案及解析
已知直线与抛物线：交于，两点，且的面积为16（为坐标原点）.
（1）求的方程.
（2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求该定值及的坐标；若不存在，请说明理由.

难度: 中等查看答案及解析

某城市有东、西、南、北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵，交警部门记录了11月份30天内的拥堵情况（如下表所示，其中●表示拥堵，○表示通畅）.假设每个人口是否发生拥堵相互独立，将各入口在这30天内拥堵的频率代替各入口每天拥堵的概率.

11.1

11.2

11.3

11.4

11.5

11.6

11.7

11.8

11.9

11.10

11.11

11.12

11.13

11.14

11.15

东入口

●

○

●

○

●

○

●

○

●

西入口

○

●

○

●

○

●

○

●

○

●

○

南入口

○

●

○

●

○

●

北入口

●

○

●

○

●

○

●

○

11.16

11.17

11.18

11.19

11.20

11.21

11.22

11.23

11.24

11.25

11.26

11.27

11.28

11.29

11.30

东入口

●

○

●

○

●

○

●

○

●

○

●

西入口

●

○

●

○

●

○

●

○

●

○

●

○

●

○

南入口

○

●

○

●

○

●

北入口

○

●

○

●

○

（1）分别求该城市一天中早高峰时间段这四个主干道的入口发生拥堵的概率.

（2）各人口一旦出现拥堵就需要交通协管员来疏通，聘请交通协管员有以下两种方案可供选择.方案一：四个主干道入口在早高峰时间段每天各聘请一位交通协管员，聘请每位交通协管员的日费用为（，且）元.方案二：在早高峰时间段若某主干道入口发生拥堵，交警部门则需临时调派两位交通协管员协助疏通交通，调派后当日需给每位交通协管员的费用为200元.以四个主干道入口聘请交通协管员的日总费用的数学期望为依据，你认为在这两个方案中应该如何选择？请说明理由.

难度: 中等查看答案及解析

已知函数.
（1）若对任意，恒成立，求的取值范围；
（2）若函数有两个不同的零点，，证明：.

难度: 困难查看答案及解析
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.
（1）若，求与的普通方程；
（2）若与有两个不同的公共点，求的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若“，”为假命题，求的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析