2020届福建省莆田市（第一联盟体）上学期高三联考理科数学试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 4 题，中等难度 14 题，困难题 5 题。总体难度: 中等

单选题共 12 题

若复数满足，则（　　）
A. B.3 C.5 D.25

难度: 简单查看答案及解析
设集合，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
在等比数列中，，则（　　）
A.6 B.7 C.8 D.15

难度: 简单查看答案及解析
已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则的值为（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为，则图中的值为（　　）
A.2 B. C.1 D.

难度: 中等查看答案及解析
我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数的图像大致是（　　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
在梯形中，，，，若，则的值为（　　）
A. B. C. D.0

难度: 中等查看答案及解析
设，则（　　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
关于函数有下述四个结论：
①的图象关于轴对称；②在有3个零点；
③的最小值为；④在区间单调递减.
其中所有正确结论的编号是（　　）
A.①② B.①③ C.①④ D.③④

难度: 困难查看答案及解析
已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，与双曲线右支交于点，若，则双曲线的渐近线斜率为（　　）
A. B. C.） D.

难度: 中等查看答案及解析
2019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国.为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数通过变换公式：，将明文转换成密文，如，即变换成，即变换成.若按上述规定，若王华收到的密文是，那么原来的明文是（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
函数满足，若恒成立，则的取值范围为（　　）
A. B. C. D.

难度: 困难查看答案及解析

填空题共 4 题

若向量和垂直，则__________.

难度: 简单查看答案及解析
已知满足，则的取值范围是__________.

难度: 中等查看答案及解析
已知直线与抛物线相交于不同的两点为的中点，线段的垂直平分线交轴于点，则的长为__________.

难度: 中等查看答案及解析
正方体的棱长为2，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记平面截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设.
（1）下列说法中，正确的编号为__________.
①截面多边形可能为四边形；②；③函数的图象关于对称.
（2）当时，三棱锥的外接球的表面积为__________.

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 7 题

在中，内角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）设，点在上，且，若的面积为，求的长.

难度: 中等查看答案及解析
在正项数列中，已知且.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设的前项和为，证明：.

难度: 中等查看答案及解析
如图：已知正方形的边长为，沿着对角线将折起，使到达的位置，且.
（1）证明：平面平面；
（2）若是的中点，点在线段上，且满足直线与平面所成角的正弦值为，求的值.

难度: 中等查看答案及解析
已知：椭圆的右焦点为为上顶点，为坐标原点，若的面积为2，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线交椭圆于两点，当为的垂心时，求的面积.

难度: 困难查看答案及解析
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记的最小值为，证明：.

难度: 困难查看答案及解析
已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设点的极坐标为.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数，，且的解集为.
（1）求的值；
（2）若都为正数，且，证明：.

难度: 中等查看答案及解析