吉林省长春市2019届高三质量检测（三）数学（理）试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 10 题，中等难度 11 题，困难题 2 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

的值为（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|（x+1）（x-2）＜0}，则A∩B=（　　）
A. B. C. 0， D. 1，

难度: 简单查看答案及解析
若的实部与虚部相等，则实数a的值为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

难度: 简单查看答案及解析
执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出p为（　　）
A. 6 B. 24 C. 120 D. 720

难度: 中等查看答案及解析
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，a4=2，则S6=（　　）
A. 0 B. 10 C. 15 D. 30

难度: 简单查看答案及解析
已知、是两个单位向量，且夹角为，则＝（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（　　）
A. B. C. D.

难度: 困难查看答案及解析
已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出的是（　　）
A. B.
C. D.

难度: 简单查看答案及解析
“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．
根据折线图和条形图，下列结论错误的是（　　）
A. 2012﹣2013 年研发投入占营收比增量相比 2017﹣2018 年增量大
B. 该企业连续 12 年研发投入逐年增加
C. 2015﹣2016 年研发投入增值最大
D. 该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加

难度: 简单查看答案及解析
函数f（x）=的部分图象大致是（　　）
A. B.
C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知O为坐标原点，抛物线C：y2=8x上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛物线C准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（　　）
A. 4 B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数，若，且，则的取值范围是（　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

已知函数的最小正周期为，则＝_____，若，则＝____．

难度: 简单查看答案及解析
已知矩形，以为焦点，且过两点的双曲线的离心率为_____．

难度: 简单查看答案及解析
我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：
①四个侧面都是直角三角形；
②最长的侧棱长为；
③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；
④外接球的表面积为24π．
其中正确的描述为____．

难度: 中等查看答案及解析
已知数列中，则_______．

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 7 题

在中，，．
（1）若，求的面积；
（2）若点D在BC边上且，AD＝BD，求BC的长．

难度: 中等查看答案及解析
某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分组）．

分组

频数

[55，65）

2

[65，75）

4

[75，85）

10

[85，95]

4

合计

20

第一车间样本频数分布表
（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；
（Ⅱ）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
（Ⅲ）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中，随机抽取3人，记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

难度: 中等查看答案及解析
如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．
（Ⅰ）证明：平面POB⊥平面ABCE；
（Ⅱ）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A-PE-C的余弦值．

难度: 中等查看答案及解析
如图所示，椭圆离心率为，、是椭圆C的短轴端点，且到焦点的距离为，点M在椭圆C上运动，且点M不与、重合，点N满足．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求四边形面积的最大值．

难度: 中等查看答案及解析
已知，函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若是的极值点，且曲线在两点，处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为、，求的取值范围.

难度: 困难查看答案及解析
在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．

难度: 中等查看答案及解析
已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）设函数的最小值为m，当a，b，，且时，求的最大值．

难度: 中等查看答案及解析

分组	频数
[55，65）	2
[65，75）	4
[75，85）	10
[85，95]	4
合计	20