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本卷共 23 题，其中：
解答题 7 题，单选题 12 题，填空题 4 题
简单题 6 题，中等难度 13 题，困难题 4 题。总体难度: 简单
解答题 共 7 题

  1. 已知数列的前项和为，

    （1）求的通项公式；

    （2）记，数列的前项和为，求证：.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大.长沙某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市（总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近）采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价:(单位：元/月）和购买人数(单位：万人）的关系如表:

    流量包的定价（元/月）

    30

    35

    40

    45

    50

    购买人数（万人）

    18

    14

    10

    8

    5

    （1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系？并指出是正相关还是负相关；

    （2）①求出关于的回归方程；

    ②若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位25元/ 月，请用所求回归方程预测长沙市一个月内购买该流量包的人数能否超过20 万人.

    参考数据：，，.

    参考公式：相关系数，回归直线方程，其中，.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图，平面平面，其中为矩形，为直角梯形，，，．

    （1）求证：平面平面；

    （2）若三棱锥体积为，求与面所成角的正弦值．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知椭圆的离心率为，且过点．

    （1）求的方程；

    （2）是否存在直线与相交于两点，且满足：①与（为坐标原点）的斜率之和为2；②直线与圆相切，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 已知函数(为自然对数的底数).

    （1）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围；　

    （2）当时，函数在上是否存在极值?若存在，请求出这个极值；若不存在，请说明理由.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．若曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为 (t为参数)．

    (1)求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；

    (2)设点，直线与曲线交于两点，求的值．

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知函数，的解集为.

    (1)求实数的值；

    (2)若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析

单选题 共 12 题

  1. 若集合，则等于

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知是虚数单位，复数的共轭复数虚部为

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 在等差数列中，前项和满足，则的值是(　　)

    A. 5 B. 7 C. 9 D. 3

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：(1)甲的平均成绩比乙的平均成绩高；(2)甲的成绩的极差是29；(3)乙的成绩的众数是21；(4)乙的成绩的中位数是18．则这4个结论中，正确结论的个数为(　　)

    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 已知向量，若间的夹角为，则（ ）

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ）

    A.  B.  C.  D. 0

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（　　 ）

    A. 2 B.  C. 6 D. 8

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 学校根据课程计划拟定同时实施“科普之旅”和“红色之旅”两个主题的研学旅行，现在小芳和小敏都已经报名参加此次的研学旅行，则两人选择的恰好是同一研学旅行主题的概率为

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 设变量满足约束条件若目标函数取得最大值时的最优解不唯一，则实数的值为

    A.  B.  C. 或 D. 或

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  11. 点，，，在同一个球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积的最大值为

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是

    A.  B.  C.  D.

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 已知函数是奇函数，且当时，则的值是_______．

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 若，则的值是______．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 在锐角中，角的对边分别为，已知，，，则的面积为__________．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是__________．

    难度: 困难查看答案及解析