湖南省常德市2019届高三上学期检测考试数学（理）试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 10 题，中等难度 12 题，困难题 1 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

已知集合，则（　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知复数（是虚数单位），则的实部为（　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
如图是一个边长为5的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷500个点，其中落入黑色部分的有300个点，据此可估计黑色部分的面积为（　）
A. 17 B. 16 C. 15 D. 14

难度: 简单查看答案及解析
阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入，，则输出的值为（　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布.此问题中若记该女子一月中的第天所织布的尺数为，则的值为（　）
A. 56 B. 52
C. 28 D. 26

难度: 简单查看答案及解析
已知函数的图象向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数的图象，则下列区间为的单调递增区间的是（　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知，，，则的大小关系是（　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
函数的部分图象大致为（　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为（　）
A. B.
C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知双曲线的右焦点为，以为圆心，实半轴长为半径的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点，若（其中为原点），则双曲线的离心率为（　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知是上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是（　）
A. 12 B. 10 C. 6 D. 5

难度: 中等查看答案及解析
已知的三个内角所对的边为，面积为，且，则等于（　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

设向量，，且，则______．

难度: 中等查看答案及解析
已知，且满足，若的最大值为_____．

难度: 简单查看答案及解析
已知的展开式的各项系数和为243，则展开式中的二项式系数为_______.

难度: 简单查看答案及解析
已知抛物线的焦点为为坐标原点，点为抛物线准线上相异的两点，且两点的纵坐标之积为-4，直线，分别交抛物线于，两点，若A，B，F三点共线，则_______.

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 7 题

已知等比数列的各项均为正数，且，，数列的前项和为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前项和．

难度: 中等查看答案及解析
如图，在直三棱柱中，，，，为线段的中点，为线段上一动点（异于点），为线段上一动点，且.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.

难度: 中等查看答案及解析
某地因受天气，春季禁渔等因素影响，政府规定每年的7月1日以后的100天为当年的捕鱼期.某渔业捕捞队对吨位为的20艘捕鱼船一天的捕鱼量进行了统计，如下表所示：

捕鱼量(单位：吨)

频数

2

7

7

3

1

根据气象局统计近20年此地每年100天的捕鱼期内的晴好天气情况如下表（捕鱼期内的每个晴好天气渔船方可捕鱼，非晴好天气不捕鱼）：

晴好天气(单位：天)

频数

2

7

6

3

2

（同组数据以这组数据的中间值作代表）
（Ⅰ）估计渔业捕捞队吨位为的渔船单次出海的捕鱼量的平均数；
（Ⅱ）已知当地鱼价为2万元/吨，此种捕鱼船在捕鱼期内捕鱼时，每天成本为10万元/艘，若不捕鱼，每天成本为2万元/艘，若以（Ⅰ）中确定的作为上述吨位的捕鱼船在晴好天气捕鱼时一天的捕鱼量.
①请依据往年天气统计数据，试估计一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的概率；
②设今后3年中，此种捕鱼船每年捕鱼情况一样，记一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的年数为，求的分布列和期望.

难度: 中等查看答案及解析
已知椭圆的离心率为，为椭圆的左、右焦点，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且的周长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点A是第一象限内椭圆上一点，且在轴上的正投影为右焦点，过点作直线分别交椭圆于两点，当直线的倾斜角互补时，试问：直线的斜率是否为定值；若是，请求出其定值；否则，请说明理由.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若为曲线上两点，求证：.

难度: 困难查看答案及解析
在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（I）写出曲线与圆的极坐标方程；
（II）在极坐标系中，已知射线分别与曲线及圆相交于，当时，求的最大值.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数，.
(Ⅰ)当，求不等式的解集；
(Ⅱ)若函数满足，且恒成立，求的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析

捕鱼量(单位：吨)
频数	2	7	7	3	1

晴好天气(单位：天)
频数	2	7	6	3	2