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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 3 题，中等难度 17 题，困难题 3 题。总体难度: 中等
单选题 共 12 题

  1. 设集合，，则=（　　 ）

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 复数的虚部为（　　）

    A.—1 B.—3 C.1 D.2

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知直线和互相平行，则实数（　 ）

    A. B. C.或3 D.或

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知向量，则“x＞0”是“ 与的夹角为锐角”的(　　)

    A.充分不必要条件 B.充要条件

    C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 设是公差不为零的等差数列的前n项和，且，若，则当最大时，=（　　　 ）

    A.6 B.10 C.7 D.9

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的新函数的一个对称中心是（　　 ）

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是

    ，则河流的宽度BC等于（ ）

    A. B. C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 三个数大小关系是（　　）

    A.1.10.4＜0.41.1＜log0.41.1 B.0.41.1＜log0.41.1＜1.10.4

    C.log0.41.1＜1.10.4＜0.41.1 D.log0.41.1＜0.41.1＜1.10.4

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 设函数 ，其中 ，则导数 的取值范围是 (　　 )

    A. B. C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则

    A. B.

    C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 定义域为R的函数,若对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“H函数”，现给出如下函数：

    ①②③④ ,

    其中为“H函数”的有（　　 ）

    A.①② B.③④ C.②③ D.①②③

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 经过双曲线的右焦点为作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于两点，若为坐标原点，的面积是，则该双曲线的离心率是（ ）

    A. B. C. D.

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 函数（）的最大值是__________．

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 过原点作圆的两条切线，设切点分别为,则直线的方程是 ______．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 设定义域为的函数满足，则不等式的解集为__________．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在直线上，当取最大值时，______．

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 7 题

  1. 在中，角所对的边分别为，且．

    （1）求角；

    （2）若，，求的长度．

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）

    年龄段

    [15，25）

    [25，35）

    [35，45）

    [45，55）

    [55，65）

    [65，75]

    频率

    0.1

    0.32

    0.28

    0.22

    0.05

    0.03

    使用人数

    8

    28

    24

    12

    2

    1

    （1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？

    年龄低于45岁

    年龄不低于45岁

    使用手机支付

    不使用手机支付

    （2）若从年龄在[55，65），[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

    参考数据：

    P（K2≥k0）

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    k0

    3.841

    6.635

    7.879

    10.828

    参考公式：．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 四棱锥中，面，底面为菱形，且有，，，为中点．

    （1）证明：面；

    （2）求二面角的平面角的余弦值．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 设函数

    （1）求函数的极值；

    （2）当时，恒成立，求整数的最大值.（参考数值，）

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 已知为椭圆的右顶点，点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，当点与坐标原点重合时，直线的斜率之积为．

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）若，求面积的最大值．

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴非负半轴为极轴极坐标，曲线的方程：（为参数），曲线的方程：．

    （1）求曲线和曲线的直角坐标系方程；

    （2）从上任意一点作曲线的切线，设切点为，求切线长的最小值及此时点的极坐标．

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 设函数．

    (1)当时，解不等式；

    (2)若的解集为，，求证:．

    难度: 中等查看答案及解析