江苏省南京市、南渡中学联考2019-2020学年高三上学期12月月考数学（理）试卷

设集合，则 ___． .

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已知复数满足，其中为虚数单位，则的模为__．

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函数的定义域为________．

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已知，则＝_____________．

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若轴是曲线的一条切线，则______.

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已知双曲线的右焦点为若以为圆心的圆与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为_____.

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已知函数，则不等式的解集为____.

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如图，在扇形AOB中，OA=4，∠AOB=120°,P为弧AB上的一点，OP与AB相交于点C,若，则的值为______.

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已知是公差不为0的等差数列，是其前项和．若，，则的值是____．

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在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若则c=______．

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若为半圆直径延长线上的一点，且，过动点作半圆的切线，切点为，若，则面积的最大值为____．

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已知椭圆E：，椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是　　 ．

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若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为　　　 ．

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已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝，若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a的取值范围是______．

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在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是，向量＝(a－c，b＋c)，＝(b－c，a)，且.

（1）求B；

（2）若b＝，cos＝，求a.

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如图，在三棱锥P—ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝BC，PA⊥PC．点E，F，O分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点．

（1）求证：FG∥平面EBO；

（2）求证：PA⊥BE．

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如图，某机械厂要将长，宽的长方形铁皮进行裁剪．已知点为的中点，点在边上，裁剪时先将四边形沿直线翻折到处（点，分别落在直线下方点，处，交边于点，再沿直线裁剪．

（1）当时，试判断四边形的形状，并求其面积；

（2）若使裁剪得到的四边形面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．

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如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，离心率为，过点的直线与椭圆交于另一点，点为轴上的一点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程.

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已知函数（），是自然对数的底数．

（1）当时，求的单调增区间；

（2）若对任意的，（），求的最大值；

（3）若的极大值为，求不等式的解集．

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已知数列，满足：对于任意正整数n，当n≥2时，．

（1）若，求的值；

（2）若，，且数列的各项均为正数．

① 求数列的通项公式；

② 是否存在，且，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.

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已知矩阵的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为，求实数的值.

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在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线，圆C的参数方程为（为参数）．当圆心C到直线的距离为时，求的值。

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在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3，D是BC的中点．

(1) 求直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值；

(2) 求二面角的余弦值．

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已知 为整数，且，，为正整数，，，记.

(1)试用分别表示；

(2)用数学归纳法证明：对一切正整数，均为整数．

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