河北省2019届高三下学期4月联考数学（文）试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 13 题，中等难度 8 题，困难题 2 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

若集合，，，则的子集共有（　　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 6个

难度: 简单查看答案及解析
若为纯虚数，则实数的值为(　　 )
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
设正项等比数列的前项和为，若，，则公比（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

难度: 简单查看答案及解析
《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽（cōng），周四丈八尺，高一丈一尺。问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺。问它的体积是（　　）？”（注：1丈=10尺，取）
A. 704立方尺 B. 2112立方尺 C. 2115立方尺 D. 2118立方尺

难度: 简单查看答案及解析
已知向量，满足，，且在方向上的投影是，则实数（　　）
A. B. C. 2 D.

难度: 简单查看答案及解析
若，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则

难度: 简单查看答案及解析
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为（　　）
A. B.
C. D.

难度: 简单查看答案及解析
若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）
A. 240 B. 264 C. 274 D. 282

难度: 简单查看答案及解析
函数（其中，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（　　）
A. 函数为奇函数
B. 函数为偶函数
C. 函数的图象的对称轴为直线
D. 函数的单调递增区间为

难度: 中等查看答案及解析
某学校对100间学生公寓的卫生情况进行综合评比，依考核分数分为，、、四个等级，其中分数在为等级；分数在为等级；分数在为等级；分数在为等级.考核评估后，得其频率分布折线图如图所示，估计这100间学生公寓评估得分的平均数是（　　）
A. 80.25 B. 80.45
C. 80.5 D. 80.65

难度: 简单查看答案及解析
已知是定义在上的偶函数，且，如果当时，，则（　　）
A. 3 B. -3 C. -2 D. 2

难度: 简单查看答案及解析
已知双曲线的右焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的右支交于不同两点，，若，则该双曲线的离心率为（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

已知函数，则__________．

难度: 简单查看答案及解析
已知实数，满足，则目标函数的最大值为__________．

难度: 中等查看答案及解析
数列满足，且对于任意的都有，，则_______．

难度: 中等查看答案及解析
已知抛物线经过点，直线与抛物线交于相异两点，，若的内切圆圆心为，则直线的斜率为__________．

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 7 题

在中，角，，所对的边分别是，,，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求边长.

难度: 简单查看答案及解析
某省确定从2021年开始，高考采用“”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、英语，为必考科目：“1”表示从物理、历史中任选一门；“2”则是从生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目.某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取名学生进行调查.
（1）已知抽取的名学生中含男生110人，求的值及抽取到的女生人数；
（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生讲行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）.下表是根据调查结果得到的列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；

性别

选择物理

选择历史

总计

男生

50

女生

30

总计

（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.
参考公式：，其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

难度: 简单查看答案及解析
在四棱柱中，，且，平面，.
（1）证明：.
（2）求三棱锥的体积.

难度: 中等查看答案及解析
已知椭圆：的离心率为，椭圆：经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于，两个相异点，证明：面积为定值.

难度: 困难查看答案及解析
已知函数，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设函数的极大值为，极小值为，求的取值范围.

难度: 困难查看答案及解析
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）设曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，求三条曲线，，所围成图形的面积.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

性别	选择物理	选择历史	总计
男生		50
女生	30
总计