江苏省2019届高三第二学期四月模拟考试数学试卷

已知集合，则_______．

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_______．

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已知复数，其中是虚数单位，则_______．

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对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，如图为检测结果的频率分布直方图．根据产品标准，单件产品长度在区间的为一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品．则样本中三等品的件数为_______．

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如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．

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从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，则的概率为_______．

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在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为_______．

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一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为_______．

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已知，且，则_______．

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已知等边的边长为2，若，，则的面积为_______．

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在平面直角坐标中，已知点，若直线上存在点使得，则实数的取值范围是_______．

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已知是定义在区间上的奇函数，当时， ．则关于的不等式的解集为__________．

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已知实数，，，满足，，且，则的取值范围是_______．

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已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，集合,将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为，则数列的前45项和_______．

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在中，分别为角所对边的长,若 ，且．

（1）求的值；

（2）求的值．

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如图，在四面体中，，点分别为棱上的点，点为棱的中点，且平面平面．

（1）求证：；

（2）求证：平面平面．

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某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐（上下底面及侧面的厚度不计），易拉罐的体积为,设圆柱的高度为，底面半径为，且,假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关．已知易拉罐侧面制造费用为元，易拉罐上下底面的制造费用均为元为常数)．

（1）写出易拉罐的制造费用(元)关于的函数表达式，并求其定义域；

（2）求易拉罐制造费用最低时的值．

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在平面直角坐标系中，设椭圆的左焦点为，左准线为为椭圆上任意一点，直线，垂足为，直线与交于点．

（1）若，且，直线的方程为．①求椭圆的方程；②是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

（2）设直线与圆交于两点，求证：直线均与圆相切．

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设函数．

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）若函数的图象与轴交于两点，且，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下，证明：为函数的导函数）．

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已知数列是首项为1，公差为的等差数列，数列是首项为1，公比为的等比数列．

（1）若，求数列的前项和；

（2）若存在正整数，使得，试比较与的大小，并说明理由．

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在平面直角坐标系中，先对曲线作矩阵所对应的变换，再将所得曲线作矩阵所对的变换．若连续实施两次变换所对应的矩阵为，求的值．

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在极坐标系中，已知，线段的垂直平分线与极轴交于点，求的极坐标方程及的面积．

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己知实数满足，求证：．

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如图，在四棱锥中，已知棱，，两两垂直，长度分别为1，2，2.若（），且向量与夹角的余弦值为.

（1）求的值；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

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已知数列的通项公式为，，记 ．

（1）求，的值；

（2）求证：对任意正整数为定值．

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