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本卷共 23 题,其中:
单选题 12 题,填空题 4 题,解答题 7 题
简单题 3 题,中等难度 16 题,困难题 4 题。总体难度: 中等
单选题 共 12 题
  1. 集合,集合,则(   )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 设复数满足,则复数的虚部为(   )

    A.  B.  C.  D. -1

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知:“”,则为(   )

    A.  B.

    C. 不存在 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 据《孙子算经》中记载,中国古代诸侯的等级从低到高分为:男、子、伯、侯、公,共五级.若给有巨大贡献的2人进行封爵,则两人不被封同一等级的概率为(   )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 已知双曲线,双曲线的焦点在轴上,它的渐近线与双曲线相同,则双曲线的离心率为(   )

    A.  B. 2 C.  D. 1

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 满足约束条件,则的最小值为(   )

    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 函数的图象大致为(   )

    A.  B.

    C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 若存在唯一的实数,使得曲线关于点对称,则的取值范围是(   )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 已知的内角的对边分别为为角的角平分线,交,则(   )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(   )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 已知,则(   )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 已知函数,若存在实数,使得成立,则实数的取值范围为(   )

    A.  B.

    C.  D.

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题
  1. 已知向量满足,若,则向量的夹角为______.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 执行如图所示的程序框图,若输出的值为2047,则输入正整数的值为_______.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知直线与抛物线相交于两点,线段的中点坐标为,则等于_______.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 如图所示,正方体的边长为2,过的截面的面积为,则的最小值为_______.

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 7 题
  1. 已知数列满足,设.

    (1)求

    (2)证明:数列为等比数列.

    (3)求的通项公式.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 如图,几何体是由半个圆柱及个圆柱拼接而成,其中分别为的中点,四边形为正方形.

    (1)证明:平面平面.

    (2)若,求三棱锥的体积.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐,为了解通话时长,采用随机抽样的方法,得到该校100位班主任每人的月平均通话时长(单位:分钟)的数据,其频率分布直方图如图所示,将频率视为概率.

    (1)求图中的值;

    (2)估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数;

    (3)在这两组中采用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求抽取的2人恰在同一组的概率.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 设圆的圆心为,直线过点且与轴不重合,交圆两点,过点的平行线交于点.

    (1)求的值;

    (2)设点的轨迹为曲线,直线与曲线相交于两点,与直线相交于点,试问在椭圆上是否存在一定点,使得成等差数列(其中分别指直线的斜率).若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 已知函数.

    (1)讨论函数的单调性;

    (2)若,且存在不相等的实数,使得,求证:.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为.

    (1)求曲线与直线的直角坐标方程.

    (2)直线轴的交点为,与曲线的交点为,求的值.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知函数.

    (1)关于的不等式的解集为,求的值;

    (2)若函数的图象与轴围成图形的面积不小于50,求的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析