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本卷共 23 题,其中:
单选题 12 题,填空题 4 题,解答题 7 题
简单题 4 题,中等难度 18 题,困难题 1 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题
  1. 已知集合,则(   )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. ”是“复数为纯虚数”的(   )

    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

    C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知平面向量满足,且,则向量的夹角为(   )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 函数在区间上的大致图象为(   )

    A.  B.

    C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 的展开式中的系数是(   )

    A. 10 B. 4 C. -10 D. -4

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 已知数列满足,若,则数列的通项(   )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 困难查看答案及解析

  7. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧棱与底面所成线面角的最小角的正弦值为(   )

    A. 1 B.

    C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录,其中寸表示115寸分(1寸=10分).

    节气

    冬至

    小寒(大雪)

    大寒(小雪)

    立春(立冬)

    雨水(霜降)

    晷影长(寸)

    135

    节气

    惊蛰(寒露)

    春分(秋分)

    清明(白露)

    谷雨(处暑)

    立夏(立秋)

    晷影长(寸)

    75.5

    节气

    小满(大暑)

    芒种(小暑)

    夏至

    晷影长(寸)

    16.0

    已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸,春分晷影长为72.4寸,那么《易经》中所记录的夏至的晷影长应为(   )

    A. 14.8寸 B. 15.8寸 C. 16.0寸 D. 18.4寸

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 已知抛物线与直线相交于两点,为抛物线的焦点,若,则的中点的横坐标为(   )

    A.  B. 3 C. 5 D. 6

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 已知函数,若,且函数存在最小值,则实数的取值范围为(   )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上,且,且三棱锥的体积为,则球的体积为(   )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 已知数列都是公差为1的等差数列,其首项分别为>,且,设,则数列的前100项和等于(   )

    A. 4950 B. 5250 C. 5350 D. 10300

    难度: 中等查看答案及解析

填空题 共 4 题
  1. 电视台组织中学生知识竞赛,共设有5个版块的试题,主题分别是“中华诗词”“社会主义核心价值观”“依法治国理念”“中国戏剧”“创新能力”.某参赛队从中任选2个主题作答,则“中华诗词”主题被该队选中的概率是__________.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知实数满足条件,则的最大值是_______.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,为双曲线的右顶点,为坐标原点,若平分,则该双曲线的离心率为_______.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 函数处取得极大值,则实数的取值范围为_____.

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 7 题
  1. 已知在中,角的对边分别为.

    (1)求的大小;

    (2)若,求的面积.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 如图,在圆柱中,点分别为上、下底面的圆心,平面是轴截面,点在上底面圆周上(异于),点为下底面圆弧的中点,点与点在平面的同侧,圆柱的底面半径为1,高为2.

    (1)若平面平面,证明:

    (2)若直线与平面所成线面角的正弦值等于,证明:平面与平面所成锐二面角的平面角大于.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知为坐标原点,点,动点满足,点为线段的中点,抛物线上点的纵坐标为.

    (1)求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程;

    (2)若抛物线的准线上一点满足,试判断是否为定值,若是,求这个定值;若不是,请说明理由.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. “爱国,是人世间最深层、最持久的情感,是一个人立德之源、立功之本。”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中,爱国主义始终是激昂的主旋律。爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造,根据市场调研与模拟,得到科技改造投入(亿元)与科技改造直接收益(亿元)的数据统计如下:

    2

    3

    4

    6

    8

    10

    13

    21

    22

    23

    24

    25

    13

    22

    31

    42

    50

    56

    58

    68.5

    68

    67.5

    66

    66

    时,建立了的两个回归模型:模型①:;模型②:;当时,确定满足的线性回归方程为:.

    (1)根据下列表格中的数据,比较当时模型①、②的相关指数,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.

    回归模型

    模型①

    模型②

    回归方程

    182.4

    79.2

    (附:刻画回归效果的相关指数.)

    (2)为鼓励科技创新,当科技改造的投入不少于20亿元时,国家给予公司补贴收益10亿元,以回归方程为预测依据,比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小;

    (附:用最小二乘法求线性回归方程的系数公式

    (3)科技改造后,“东方红”款汽车发动机的热效率大幅提高,服从正态分布,公司对科技改造团队的奖励方案如下:若发动机的热效率不超过,不予奖励;若发动机的热效率超过但不超过,每台发动机奖励2万元;若发动机的热效率超过,每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望.

    (附:随机变量服从正态分布,则.)

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 已知函数为自然对数的底数.

    (1)若,判断函数上的单调性;

    (2)令,若,求证:方程无实根.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 已知平面直角坐标系,直线过点,且倾斜角为,以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.

    (1)求直线的参数方程和圆的标准方程;

    (2)设直线与圆交于两点,若,求直线的倾斜角的值.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知,函数.

    (1)当时,求不等式的解集;

    (2)若函数的最小值为1,证明:.

    难度: 中等查看答案及解析