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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 5 题，中等难度 13 题，困难题 5 题。总体难度: 中等
单选题 共 12 题

  1. 已知复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点在（　 ）

    A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知集合，，则（　 ）

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 在中，点在边上，且，设，则（　 ）

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 已知实数满足约束条件，则的最小值为（　 ）

    A. 3 B. 4 C. 5 D. 9

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 执行如图所示的程序框图，若输入的的值分别为1，2，则输出的是（　 ）

    A. 70 B. 29 C. 12 D. 5

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 下列数值最接近的是（　 ）

    A.  B.

    C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 在直三棱柱中，.以下能使的是（　 ）

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.如图是的部分图像，其中是其与轴的两个交点，是其上的点，，且是等腰直角三角形.则与的值分别是（　 ）

    A. ， B. ， C. ， D. ，

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为的扇形，将其圆弧连接起来得到的.若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（　 ）

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 已知直线与中心在原点的双曲线交于两点，是的右焦点，若，则的离心率为（　 ）

    A.  B.  C. 2 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 依照某发展中国家2018年的官方资料，将该国所有家庭按年收入从低到高的顺序平均分为五组，依次为第一组至第五组，各组家庭的年收入总和占该国全部家庭的年收入总和的百分比如图所示.

    以下关于该国2018年家庭收入的判断，一定正确的是（　 ）

    A. 至少有的家庭的年收入都低于全部家庭的平均年收入

    B. 收入最低的那的家庭平均年收入为全部家庭平均年收入的

    C. 收入最高的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的

    D. 收入最低的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的

    难度: 困难查看答案及解析

  12. 已知函数的定义域为，其导函数为.若，且，则下列结论正确的是（　 ）

    A. 是增函数 B. 是减函数 C. 有极大值 D. 有极小值

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 已知函数，则__________．

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 在的展开式中，的系数为__________．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则的中点到轴的距离为__________．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知是边长为2的等边三角形，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为__________．

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 7 题

  1. 已知数列的前项和为，且，.

    （1）求数列的前项和；

    （2）设，数列的前项和为，求证.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 如图，在以为顶点的五面体中，面是边长为3的菱形.

    （1）求证：；

    （2）若，，，，，求二面角的余弦值.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 某居民区有一个银行网点（以下简称“网点”），网点开设了若干个服务窗口，每个窗口可以办理的业务都相同，每工作日开始办理业务的时间是8点30分，8点30分之前为等待时段.假设每位储户在等待时段到网点等待办理业务的概率都相等，且每位储户是否在该时段到网点相互独立.根据历史数据，统计了各工作日在等待时段到网点等待办理业务的储户人数，得到如图所示的频率分布直方图：

    （1）估计每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数的平均值；

    （2）假设网点共有1000名储户，将频率视作概率，若不考虑新增储户的情况，解决以下问题：

    ①试求每位储户在等待时段到网点等待办理业务的概率；

    ②储户都是按照进入网点的先后顺序，在等候人数最少的服务窗口排队办理业务.记“每工作日上午8点30分时网点每个服务窗口的排队人数（包括正在办理业务的储户）都不超过3”为事件，要使事件的概率不小于0.75，则网点至少需开设多少个服务窗口？

    参考数据：；；

    ；.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知，是动点，以为直径的圆与圆：内切.

    （1）求的轨迹的方程；

    （2）设是圆与轴的交点，过点的直线与交于两点，直线交直线于点，求证：三点共线.

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 已知函数.

    （1）讨论极值点的个数；

    （2）若有两个极值点，，且，求实数的取值范围.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 选修4-4：坐标系与参数方程

    在平面直角坐标系中，直线的方程为，圆的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

    （1）求的极坐标方程；

    （2）设与，异于原点的交点分别是，求的面积.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 选修4-5：不等式选讲

    设函数.

    （1）求的最小值及取得最小值时的取值范围；

    （2）若集合，求实数的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析