湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测（二模）数学（理科）试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 7 题，中等难度 15 题，困难题 1 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

已知集合，则（）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
为虚数单位，复数的虚部是（）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
如图，在边长为的正方形内有不规则图形，由电脑随机从正方形中抽取个点，若落在图形内和图形外的点分别为，则图形面积的估计值为（）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的一个焦点到的距离为，则双曲线的方程为（）
A. B.
C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
在边长为的菱形中，为的中点，则的值为（）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知命题，命题，则下列命题正确的是（）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积为（）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便。某高铁换乘站设有编号为①，②，③，④，⑤的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下：

安全出口编号

①②

②③

③④

④⑤

①⑤

疏散乘客时间(s)

120

220

160

140

200

则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）
A. ① B. ② C. ④ D. ⑤

难度: 中等查看答案及解析
若函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知长方体，正方形所在平面记为，若经过点的直线与长方体所有的棱所成角相等，且，则线段的长为（　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
设函数，其中，则满足的取值范围是（　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

已知实数满足条件，则的最大值为______．

难度: 中等查看答案及解析
在的展开式中，项的系数为_____（用数字作答）．

难度: 中等查看答案及解析
已知数列的前项和为，则______．

难度: 中等查看答案及解析
已知是椭圆的左右焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为______．

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 7 题

如图，在四边形中，，连接.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积最大值.

难度: 中等查看答案及解析
如图，已知四棱锥的底面为边长为的菱形，为中点，连接.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若平面平面，且二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.

难度: 中等查看答案及解析
已知抛物线经过点，过作两条不同直线，其中直线关于直线对称.
（Ⅰ）求抛物线的方程及准线方程；
（Ⅱ）设直线分别交抛物线于两点（均不与重合），若以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线的方程.

难度: 中等查看答案及解析
从某公司生产线生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：
（Ⅰ）求这件产品质量指标的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）已知每件该产品的生产成本为元，每件合格品（质量指标值）的定价为元；若为次品（质量指标值），除了全额退款外且每件次品还须赔付客户元。若该公司卖出件这种产品，记表示这件产品的利润，求.
附：.若，则 .

难度: 中等查看答案及解析
设函数.
（Ⅰ）讨论的极值；
（Ⅱ）若曲线和曲线在点处有相同的切线，且当时，，求的取值范围 .

难度: 困难查看答案及解析
选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），现以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）设是圆上的两个动点，且，求的最大值.

难度: 简单查看答案及解析
选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）若，解不等式；
（Ⅱ）当时，函数的最小值为，求实数的值.

难度: 简单查看答案及解析

安全出口编号	①②	②③	③④	④⑤	①⑤
疏散乘客时间(s)	120	220	160	140	200