内蒙古呼和浩特市2019年高三第二次质量普查调研考试理科数学试卷

试卷详情

本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 9 题，中等难度 12 题，困难题 2 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

设集合，集合，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
瑞士著名数学家欧拉发现公式（为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

难度: 简单查看答案及解析
函数，那么的值为（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（　　）
A. 40 B. 50 C. 60 D. 70

难度: 中等查看答案及解析
已知椭圆的左、右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，若的最大可以取到120°，则椭圆的离心率为（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知某种品牌的节能灯使用寿命超过的概率为，而使用寿命超过的概率为，某家庭的该品牌节能灯已经使用了，则其寿命超过的概率为（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
执行如图所示的程序框图，如果输出S＝3，那么判断框内应填入的条件是　　　　　　 (　　 )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数.的最小值为1.则（　　）
A. 若确定，则唯一确定 B. 若确定，则唯一确定
C. 若确定，则唯一确定 D. 若确定，则唯一确定

难度: 中等查看答案及解析
我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，，若，则堑堵的外接球的体积为（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，方程恰有两个不同的实根，则实数的取值范围为（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
过坐标轴上一点作圆的两条切线，切点分别为、.若，则的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
设函数是定义在上的函数，且对任意的实数，恒有，，当时，.若在在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

已知，满足不等式，则最大值为________.

难度: 简单查看答案及解析
用半径为，圆心角为的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为________.

难度: 简单查看答案及解析
已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，的面积为，则的值等于________.

难度: 中等查看答案及解析
以下四个命题：①设，则是的充要条件；②已知命题、、满足“或”真，“或”也真，则“或”假；③若，则使得恒成立的的取值范围为{或}；④将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为.其中真命题的序号为________.

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 7 题

设是等比数列的前项和.已知，，成等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设.若，求数列的前项和.

难度: 简单查看答案及解析
随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活，在家里不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，所以选择网购的人数在逐年增加.某网店统计了2014年一2018年五年来在该网店的购买人数（单位：人）各年份的数据如下表：

年份（）

1

2

3

4

5

24

27

41

64

79

（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与时间（单位：年）的关系，请通过计算相关系数加以说明，（若，则该线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
附：相关系数公式
参考数据　　　
（2）该网店为了更好的设计2019年的“双十一”网购活动安排，统计了2018年“双十一”期间8个不同地区的网购顾客用于网购的时间x（单位：小时）作为样本，得到下表

地区

时间

0.9

1.6

1.4

2.5

2.6

2.4

3.1

1.5

①求该样本数据的平均数；
②通过大量数据统计发现，该活动期间网购时间近似服从正态分布，如果预计2019年“双十一”期间的网购人数大约为50000人，估计网购时间的人数.
（附：若随机变量服从正态分布则，

难度: 中等查看答案及解析
在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，，，，，为的中点.
（1）平面平面
（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.

难度: 中等查看答案及解析
抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然.如图所示，今有抛物线，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴的方向射向抛物线上的点，反射后，又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于抛物线的对称轴方向射出，途中遇到直线上的点，再反射后又射回点.设，两点的坐标分别是，.
（1）证明：；
（2）若四边形是平行四边形，且点的坐标为.求直线的方程.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数，.
（Ⅰ）令
①当时，求函数在点处的切线方程；
②若时，恒成立，求的所有取值集合与的关系；
（Ⅱ）记，是否存在，使得对任意的实数，函数在上有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数，若不存在，请说明理由.

难度: 困难查看答案及解析
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，
（l）设为参数，若，求直线的参数方程；
（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值.

难度: 中等查看答案及解析
设函数.
（1）当时，求不等式的解集；.
（2）对，，，恒成立，求实数的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析

年份（）	1	2	3	4	5
	24	27	41	64	79

地区
时间	0.9	1.6	1.4	2.5	2.6	2.4	3.1	1.5