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本卷共 22 题,其中:
单选题 10 题,填空题 7 题,解答题 5 题
简单题 11 题,中等难度 8 题,困难题 3 题。总体难度: 简单
单选题 共 10 题
  1. 在空间中,已知是直线,是平面,且,则的位置关系是( )

    A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知椭圆的焦点在轴上,若其离心率为,则的值是(   )

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 下列命题不正确的是(   )

    A.若,且,则

    B.若,且,则

    C.若直线直线,则直线与直线确定一个平面

    D.三点确定一个平面.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 将半径为的圆形铁皮,剪去后,余下部分卷成一个圆锥的侧面,则此圆锥的体积为(   )

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线所成的角的余弦值为

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 如图所示,已知三棱台的体积为,其中,截去三棱锥,则剩余部分的体积为(   )

    A. B. C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 有下列说法:

    ①若,则共面;②若共面,则

    ③若,则共面;④若共面,

    .其中正确的是(   )

    A.①②③④ B.①③④ C.①③ D.②④

    难度: 简单查看答案及解析

  8. 等腰梯形中,,沿对角线将平面折起,折叠过程中,夹角的取值范围为(   )

    A. B. C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 从空间一点作条射线,使得任意两条射线构成的角均为钝角,最多为(   )

    A.3 B.4 C.5 D.6

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点,中点为,若直线与直线AB的中垂线交于点,当最大时点的横坐标为(   )

    A. B. C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

填空题 共 7 题
  1. 已知正方体中,,若,则____,____.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知球的表面积为,则它的半径等于____cm,它的内接长方体的表面积的最大值为_____.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体的俯视图的面积为____,体积为____.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 椭圆的弦的中点为点,则弦所在的直线方程为____;点为椭圆上的任意一点,为左焦点,则的取值范围为____.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 直线与双曲线的左、右支分别交于两点,若为坐标原点,则双曲线的渐近线方程为____.

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 平面//平面,直线,点与面夹角为的夹角为,则的夹角为____.

    难度: 困难查看答案及解析

  7. 已知正方体的棱长为1,以顶点为球心,为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于______.

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 5 题
  1. 已知椭圆焦点为,且过点,椭圆第一象限上的一点到两焦点的距离之差为2.

    (1)求椭圆的标准方程;

    (2)求的内切圆方程.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 在所有棱长都为的三棱柱中,.

    (1)求证:

    (2)求二面角的正切值.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图,四棱锥的底面是边长为的正方形,四条侧棱长均为.点分别是棱上共面的四点,平面

    (1)证明:

    (2)若,且二面角大小为,求与平面所成角的正弦值.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 如果四面体的四条高交于一点,则该点称为四面体的垂心,该四面体称为垂心四面体.

    (1)证明:如果四面体的对棱互相垂直,则该四面体是垂心四面体;反之亦然.

    (2)给出下列四面体

    ①正三棱锥;

    ②三条侧棱两两垂直;

    ③高在各面的射影过所在面的垂心;

    ④对棱的平方和相等.

    其中是垂心四面体的序号为       .

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 平面直角坐标系中,已知椭圆,抛物线的焦点的一个顶点,设上的动点,且位于第一象限,记在点处的切线为.

    (1)求的值和切线的方程(用表示)

    (2)设交于不同的两点,线段的中点为,直线与过且垂直于轴的直线交于点.

    (i)求证:点在定直线上;

    (ii)设轴交于点,记的面积为的面积为,求的最大值.

    难度: 困难查看答案及解析