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本卷共 22 题,其中:
单选题 8 题,多选题 4 题,填空题 4 题,解答题 6 题
简单题 5 题,中等难度 7 题,困难题 10 题。总体难度: 中等
单选题 共 8 题
  1. 已知复数为虚数单位,则(   )

    A. B.

    C. D.的虚部为

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知集合,则(   )

    A. B.

    C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知点在圆上,且,则点的横坐标为(   )

    A. B.

    C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后,需要紧固轮胎的五个螺栓,记为(在正五边形的顶点上),紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓,但不能连续固定相邻的两个,则不同固定螺栓顺序的种数为(   )

    A.20 B.15

    C.10 D.5

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 若函数的大致图像如图所示,则的解析式可以为(   )

    A. B.

    C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 已知直线为双曲线的两条渐近线,若与圆相切,双曲线离心率的值为(   )

    A. B.

    C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 如图是一个近似扇形的鱼塘,其中,弧长为).为方便投放饲料,欲在如图位置修建简易廊桥,其中.已知时,,则廊桥的长度大约为(   )

    A. B.

    C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 吸烟有害健康,小明为了帮助爸爸戒烟,在爸爸包里放一个小盒子,里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”,并且和爸爸约定,每次想吸烟时,从盒子里任取一支,若取到口香糖则吃一支口香糖,不吸烟;若取到香烟,则吸一支烟,不吃口香糖,假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同,则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为(   )

    A. B.

    C. D.

    难度: 困难查看答案及解析

多选题 共 4 题
  1. 下列结论正确的是(   )

    A. B.若,则

    C.若,则 D.若,则

    难度: 困难查看答案及解析

  2. 关于函数的描述正确的是(   )

    A.其图象可由的图象向左平移个单位得到

    B.单调递增

    C.有2个零点

    D.的最小值为

    难度: 困难查看答案及解析

  3. 已知是边长为2的等边三角形,分别是上的两点,且交于点,则下列说法正确的是(   )

    A. B.

    C. D.方向上的投影为

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知四棱锥,底面为矩形,侧面平面.若点的中点,则下列说法正确的为(   )

    A.平面

    B.

    C.四棱锥外接球的表面积为

    D.四棱锥的体积为6

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题
  1. 直线与圆相交于两点,则__________.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 直线与曲线相切,则__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知数列中,,其前项和满足,则__________;__________.

    难度: 困难查看答案及解析

  4. 已知表示不超过的最大整数,如.令,则下列说法正确的是__________.

    是偶函数     

    是周期函数

    ③方程有4个根  

    的值域为

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 6 题
  1. 在非直角中,分别是的对边.已知,求:

    (1)的值;

    (2)边上的中线的长.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知数列是等比数列,成等差数列.

    (1)求数列的通项公式;

    (2)设,求数列的前项和.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知四棱柱的底面为菱形,平面.

    (1)证明:平面

    (2)求钝二面角的余弦值.

    难度: 困难查看答案及解析

  4. 已知椭圆的离心率为,短轴长为2.

    (1)求椭圆的标准方程;

    (2)过点的直线与椭圆交于两点,若以为直径的圆恰好过坐标原点,求直线的方程及的大小.

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 已知函数

    (1)求的极值;

    (2)若时,的单调性相同,求的取值范围;

    (3)当时,函数有最小值,记的最小值为,证明:.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范,具体表现为:解题结果正确,无明显推理错误,但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等,记此类解答为“类解答”.为评估此类解答导致的失分情况,某市教研室做了一项试验:从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“类解答”的题目,扫描后由近百名数学老师集体评阅,统计发现,满分12分的题,阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表:

    教师评分(满分12分)

    11

    10

    9

    各分数所占比例

    某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式,规则如下:两名老师独立评分,称为一评和二评,当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时,取两者平均分为该题得分;当两者所评分数之差的绝对值大于1分时,再由第三位老师评分,称之为仲裁,取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分;当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时,取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.(假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“类解答”所评分数及比例均如上表所示,比例视为概率,且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响).

    (1)本次数学考试中甲同学某题(满分12分)的解答属于“类解答”,求甲同学此题得分的分布列及数学期望

    (2)本次数学考试有6个解答题,每题满分均为12分,同学乙6个题的解答均为“类解答”,记该同学6个题中得分为的题目个数为,计算事件“”的概率.

    难度: 困难查看答案及解析