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本卷共 23 题,其中:
单选题 12 题,填空题 4 题,解答题 7 题
简单题 15 题,中等难度 6 题,困难题 2 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题
  1. 已知集合,则等于(  )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知复数是纯虚数,其中是实数,则等于(  )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知双曲线的焦距为,且两条渐近线互相垂直,则该双曲线的实轴长为(  )

    A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为(  )

    A. -9 B. -7 C. -5 D. -3

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 函数的图像大致是(  )

    A.  B.

    C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 如图所示的程序框图,若输出的,则输入的整数值为(  )

    A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )

    A. 210 B. 208 C. 206 D. 204

    难度: 简单查看答案及解析

  8. 德国大数学家高斯年少成名,被誉为数学届的王子,19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论,就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》,在其年幼时,对的求和运算中,提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也称之为高斯算法.现有函数,则等于(  )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  9. 中,角的对边分别为,若的面积,且,则(  )

    A. 2 B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  10. 设函数的部分图象如图所示,则函数的单调增区间为(  )

    A.  B.

    C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 已知若方程有唯一解,则实数的取值范围是(  )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 困难查看答案及解析

  12. 已知椭圆的左,右焦点分别为,过作垂直轴的直线交椭圆两点,点轴上方.若的内切圆的面积为,则直线的方程是(  )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

填空题 共 4 题
  1. 已知两个单位向量的夹角为.若,则实数__________.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 在4个不同的红球和3个不同的白球中,随机取3个球,则既有红球又有白球的概率为__________.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 若曲线在点处的切线与直线垂直,则函数的最小值为__________.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,若平面,则球的表面积为__________.

    难度: 简单查看答案及解析

解答题 共 7 题
  1. 已知等差数列的前项和为,且成等比数列.

    (1)求数列的通项公式;

    (2)设为数列的前项和,求满足的最小的值.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 某职业学校有2000名学生,校服务部为了解学生在校的月消费情况,随机调查了100名学生,并将统计结果绘成直方图如图所示.

    (1)试估计该校学生在校月消费的平均数;

    (2)根据校服务部以往的经验,每个学生在校的月消费金额(元)和服务部可获得利润(元),满足关系式:根据以上抽样调查数据,将频率视为概率,回答下列问题:

    (i)将校服务部从一个学生的月消费中,可获得的利润记为,求的分布列及数学期望.

    (ii)若校服务部计划每月预留月利润的,用于资助在校月消费低于400元的学生,估计受资助的学生每人每月可获得多少元?

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 如图,在直三棱柱中,分别为的中点,.

    (1)求证:

    (2)若直线和平面所成角的正弦值等于,求二面角的正弦值.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 已知抛物线的焦点为,过点,斜率为1的直线与抛物线交于点,且.

    (1)求抛物线的方程;

    (2)过点作直线交抛物线于不同于的两点,若直线分别交直线两点,求取最小值时直线的方程.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 已知函数.

    (1)若上恒成立,求实数的取值范围;

    (2)证明: .

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

    (1)写出的普通方程和的直角坐标方程;

    (2)设点上,点上,求的最小值以及此时的直角坐标.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知函数.

    (1)若,求不等式的解集;

    (2)已知,若对于任意恒成立,求的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析