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本卷共 23 题,其中:
单选题 12 题,填空题 4 题,解答题 7 题
简单题 11 题,中等难度 11 题,困难题 1 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题
  1. 已知是虚数单位,复数,则的实部为(  )

    A. -3 B. 3 C. -2 D. 2

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 若集合,则(  )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 若双曲线的一条渐近线与过其右焦点的直线平行,则该双曲线的实轴长为(  )

    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 若向量满足,则(  )

    A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 某研究机构在对具有线性相关的两个变量进行统计分析时,得到如表数据.由表中数据求得关于的回归方程为,则在这些样本点中任取一点,该点落在回归直线下方的概率为(  )

    4

    6

    8

    10

    12

    1

    2

    3

    5

    6

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 若函数的最小正周期为,则的单调增区间为(  )

    A.  B.

    C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 如图所示的程序框图,若输出的,则输入的整数值为(  )

    A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

    难度: 简单查看答案及解析

  8. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )

    A. 210 B. 208 C. 206 D. 204

    难度: 简单查看答案及解析

  9. 德国大数学家高斯年少成名,被誉为数学届的王子,19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论,就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》,在其年幼时,对的求和运算中,提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也称之为高斯算法.现有函数,则等于(  )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  10. 已知函数是偶函数,定义域为,单调增区间为,且,则的解集为(  )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  11. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,若平面,则球的表面积为(  )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 已知若方程有唯一解,则实数的取值范围是(  )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题
  1. 曲线在点处的切线方程为__________.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为__________.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知椭圆的左焦点为,右顶点为,上顶点为.若点到直线的距离为,则该椭圆的离心率为__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 在锐角中,角的对边分别为,若,则的取值范围是__________.

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 7 题
  1. 已知等差数列的前项和为,且成等比数列.

    (1)求数列的通项公式;

    (2)设为数列的前项和,求满足的最小的值.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 某县共有户籍人口60万,经统计,该县60岁及以上、百岁以下的人口占比,百岁及以上老人15人.现从该县60岁及以上、百岁以下的老人中随机抽取230人,得到如下频数分布表:

    年龄段(岁)

    人数(人)

    125

    75

    25

    5

    (1)从样本中70岁及以上老人中,采用分层抽样的方法抽取21人,进一步了解他们的生活状况,则80岁及以上老人应抽多少人?

    (2)从(1)中所抽取的80岁及以上老人中,再随机抽取2人,求抽到90岁及以上老人的概率;

    (3)该县按省委办公厅、省人民政府办公厅《关于加强新时期老年人优待服务工作的意见》精神,制定如下老年人生活补贴措施,由省、市、县三级财政分级拨款:

    ①本县户籍60岁及以上居民,按城乡居民养老保险实施办法每月领取55元基本养老金;

    ②本县户籍80岁及以上老年人额外享受高龄老人生活补贴;

    (a)百岁及以上老年人,每人每月发放345元的生活补贴;

    (b)90岁及以上、百岁以下老年人,每人每月发放200元的生活补贴;

    (c)80岁及以上、90岁以下老年人,每人每月发放100元的生活补贴.

    试估计政府执行此项补贴措施的年度预算.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图,在直三棱柱中,分别为的中点,.

    (1)求证:

    (2)若平面,且,求点到平面的距离.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知抛物线的焦点为,过点,斜率为1的直线与抛物线交于点,且.

    (1)求抛物线的方程;

    (2)过点作直线交抛物线于不同于的两点,若直线分别交直线两点,求取最小值时直线的方程.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 已知函数.

    (1)当时,讨论函数的单调性;

    (2)若函数为自然对数的底)时取得极值,且函数上有两个零点,求实数的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

    (1)写出的普通方程和的直角坐标方程;

    (2)设点上,点上,求的最小值以及此时的直角坐标.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知函数.

    (1)若,求不等式的解集;

    (2)已知,若对于任意恒成立,求的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析