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本卷共 23 题,其中:
填空题 14 题,解答题 9 题
简单题 11 题,中等难度 8 题,困难题 4 题。总体难度: 简单
填空题 共 14 题
  1. 已知集合,则=______.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 若复数满足为虚数单位),且实部和虚部相等,则实数的值为______.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:)的分组区间为,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组.下图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有人,则第三组中人数为______.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 下图是某算法的伪代码,输出的结果的值为______.

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 现有件相同的产品,其中件合格,件不合格,从中随机抽检件,则一件合格,另一件不合格的概率为______.

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 等差数列中,,前项的和,则的值为______.

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 在平面直角坐标系中,已知点是抛物线与双曲线的一个交点.若抛物线的焦点为,且,则双曲线的渐近线方程为______.

    难度: 简单查看答案及解析

  8. 若函数的图象经过点,且相邻两条对称轴间的距离为,则的值为______.

    难度: 简单查看答案及解析

  9. 已知正四凌锥的所有棱长都相等,高为,则该正四棱锥的表面积为______.

    难度: 简单查看答案及解析

  10. 已知函数是定义在上的奇函数,且当时,,则不等式的解集为______.

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 在平面直角坐标系中,已知点.若圆上存在唯一点,使得直线轴上的截距之积为,则实数的值为______.

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 已知是直角三角形的斜边上的高,点的延长线上,且满足.若,则的值为______.

    难度: 中等查看答案及解析

  13. 已知函数,且函数的图象经过四个象限,则实数的取值范围为______.

    难度: 困难查看答案及解析

  14. 中,若,则的最大值为______.

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 9 题
  1. 设向量 ,其中,且互相垂直.

    (1)求实数的值;

    (2)若 ,且,求的值.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 如图,在三棱柱中,分别是的中点.

    求证:(1)平面

    (2)平面.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 某公园内有一块以为圆心半径为米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活,现提出如下设计方案:如图,在圆形区域内搭建露天舞台,舞台为扇形区域,其中两个端点分别在圆周上;观众席为梯形内切在圆外的区域,其中,且在点的同侧.为保证视听效果,要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.设.问:对于任意,上述设计方案是否均能符合要求?

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且椭圆短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于.

    (1)求椭圆的方程;

    (2)设经过点的直线交椭圆两点,点.

    ①若对任意直线总存在点,使得,求实数的取值范围;

    ②设点为椭圆的左焦点,若点的外心,求实数的值.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 已知.

    (1)当时,求函数图象在处的切线方程;

    (2)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围;

    (3)若存在极大值和极小值,且极大值小于极小值,求的取值范围.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 已知数列各项为正数,且对任意,都有.

    (1)若成等差数列,求的值;

    (2)①求证:数列为等比数列;

    ②若对任意,都有,求数列的公比的取值范围.

    难度: 困难查看答案及解析

  7. 已知矩阵.

    (1)求的值;

    (2)求的逆矩阵.

    难度: 简单查看答案及解析

  8. 如图是一旅游景区供游客行走的路线图,假设从进口开始到出口,每遇到一个岔路口,每位游客选择其中一条道路行进是等可能的.现有甲、乙、丙、丁共名游客结伴到旅游景区游玩,他们从进口的岔路口就开始选择道路自行游玩,并按箭头所指路线行走,最后到出口集中,设点是其中的一个交叉路口点.

    (1)求甲经过点的概率;

    (2)设这名游客中恰有名游客都是经过点,求随机变量的概率分布和数学期望.

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 平面上有个点,将每一个点染上红色或蓝色.从这个点中,任取个点,记个点颜色相同的所有不同取法总数为.

    (1)若,求的最小值;

    (2)若,求证:.

    难度: 困难查看答案及解析