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本卷共 23 题,其中:
单选题 12 题,填空题 4 题,解答题 7 题
简单题 10 题,中等难度 12 题,困难题 1 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题
  1. 已知集合,则(   )

    A.  B.

    C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 若复数满足,则的虚部为(   )

    A. 5 B.  C.  D. -5

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知是两个不同平面,直线,则“”是“”的(   )

    A. 充分不必要条件   B. 必要不充分条件

    C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 已知双曲线的一条渐近线方程为,则的离心率为(   )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 执行下边的程序框图,如果输出的值为1,则输入的值为(   )

    A. 0 B.  C. 0或 D. 0或1

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 已知角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴,且,若点是角终边上一点,则(   )

    A. -12 B. -10 C. -8 D. -6

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 若函数的图象过点,则(   )

    A. 点的一个对称中心 B. 直线的一条对称轴

    C. 函数的最小正周期是 D. 函数的值域是

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 函数的图象可能是(   )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  9. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为,则三角形的面积可由公式求得,其中为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足,则此三角形面积的最大值为(   )

    A.  B. 8 C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 已知偶函数,当时,,若为锐角三角形的两个内角,则(   )

    A.  B.

    C.  D.

    难度: 简单查看答案及解析

  11. 已知不共线向量夹角为处取最小值,当时,的取值范围为(   )

    A.    B.    C.    D.

    难度: 简单查看答案及解析

  12. 定义:区间的长度均为,若不等式的解集是互不相交区间的并集,设该不等式的解集中所有区间的长度之和为(   )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

填空题 共 4 题
  1. 满足约束条件,则的最大值是__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 的内角的对边分别为,点的中点,若,则的长为__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知抛物线的焦点为,准线为,过的直线与抛物线及其准线依次相交于三点(其中之间且在第一象限),若,则__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 如图,矩形中,的中点,将沿直线翻折成,连结的中点,则在翻折过程中,下列说法中所有正确的序号是_______.

    ①存在某个位置,使得

    ②翻折过程中,的长是定值;

    ③若,则

    ④若,当三棱锥的体积最大时,三棱锥的外接球的表面积是.

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 7 题
  1. 为等比数列的前项和,已知,且公比.

    (1)求

    (2)是否存在常数,使得数列是等比数列?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 如图,三棱柱中,,平面平面.

    (1)求证:

    (2)若的中点,求三棱锥的体积.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 某水果种植基地引进一种新水果品种,经研究发现该水果每株的产量(单位:)和与它“相近”的株数具有线性相关关系(两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过),并分别记录了相近株数为0,1,2,3,4时每株产量的相关数据如下:

    0

    1

    2

    3

    4

    15

    12

    11

    9

    8

    (1)求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数的回归方程;

    (2)该种植基地在如图所示的长方形地块的每个格点(横纵直线的交点)处都种了一株该种水果,其中每个小正方形的面积都为,现从所种的该水果中随机选取一株,试根据(1)中的回归方程,预测它的产量的平均数.

    附:回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 如图,点为圆上一动点,过点分别作轴,轴的垂线,垂足分别为,连接延长至点,使得,点的轨迹记为曲线.

    (1)求曲线的方程;

    (2)若点分别位于轴与轴的正半轴上,直线与曲线相交于两点,试问在曲线上是否存在点,使得四边形为平行四边形,若存在,求出直线方程;若不存在,说明理由.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 已知函数.

    (1)当时,求的单调区间;

    (2)设,若为函数的两个不同极值点,证明:.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 选修4-4:坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,已知曲线为参数),在以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为.

    (1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;

    (2)求曲线与直线交点的极坐标().

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 已知函数的最大值为.

    (1)求实数的值;

    (2)若,设,且满足,求证:.

    难度: 简单查看答案及解析