湖南省衡阳市2019届高三下学期第一次联考数学（文）试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 9 题，中等难度 9 题，困难题 5 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

已知为虚数单位），则（　）
A. 1　　 B. 0　　 C. −1　　 D. −2

难度: 简单查看答案及解析
若，，则（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
甲、乙两名同学八次数学测试成绩如茎叶图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为（　）
A．85，86　　　　　　　　 B．85，85，　　　　　 C．86，85　　　　　　　 D．86，86

难度: 简单查看答案及解析
的值为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
在等比数列中，，则的所有可等值构成的集合是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
有两条不同的直线、与两个不同的平面、，下列命题正确的是（　　）
A. ，，且，则　　 B. ，，且，则
C. ，，且，则　　 D. ，，且，则

难度: 中等查看答案及解析
若实数满足，则的最大值为（　）
A. 　　 B. 1　　 C. 　　 D. 2

难度: 简单查看答案及解析
若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　）
A. 　　 B.
C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
现有四个函数：①y＝xsin x；②y＝xcos x；③y＝x|cos x|；④y＝x·2x的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是(　　)
A. ④①②③　　 B. ①④③②　　 C. ③④②①　　 D. ①④②③

难度: 中等查看答案及解析
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知，，则的最小值是(　　　　 )
A. 1　　 B. 　　 C. 2　　 D.

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

已知点，向量，则向量　　　　　　　　　 .

难度: 简单查看答案及解析
阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为　　　　　　　　

难度: 困难查看答案及解析
在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,,外接圆的半径为3，则_____

难度: 简单查看答案及解析
已知函数若在区间内随机选取一个实数，则方程有且只有两个不同实根的概率为________。

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 7 题

已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求；
（2）设数列的前n项和为，求证：．

难度: 简单查看答案及解析
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：

质量指标值分组

[75，85)

[85，95)

[95，105)

[105，115)

[115，125)

频数

6

26

38

22

8

（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

难度: 中等查看答案及解析
四棱锥的底面为直角梯形，，，，为正三角形．
（1）点为棱上一点，若平面，，求实数的值；
（2）若，求点到平面的距离．

难度: 困难查看答案及解析
如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且．
(1)求圆的方程；
(2)过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：．

难度: 困难查看答案及解析
已知在区间上是增函数.
（1）求实数的值组成的集合；
（2）设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

难度: 困难查看答案及解析
以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程是　 (m>0,t为参数)，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与轴交于点，与曲线交于点，且，求实数的值．

难度: 中等查看答案及解析
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析

质量指标值分组	[75，85)	[85，95)	[95，105)	[105，115)	[115，125)
频数	6	26	38	22	8