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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 6 题，中等难度 14 题，困难题 3 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题

  1. 设复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（　 ）

    A. 第一象限　　 B. 第二象限　　 C. 第三象限　　 D. 第四象限

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 集合，，则=( )

    A. 　　 B.

    C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 设向量，，则与垂直的向量的坐标可以是（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 直线与轴的交点为,点把圆的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于　 (　　 )

    A. 2　　 B. 3　　 C. 4　　 D. 5

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有

    A. 72种　　 B. 36种　　 C. 24种　　 D. 18种

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 将函数的图象向右平移个单位长度得到图像，则下列判断错误的是（　 ）

    A. 函数在区间上单调递增　　 B. 图像关于直线对称

    C. 函数在区间上单调递减　　 D. 图像关于点对称

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 如图是为了求出满足的最小偶数，那么在和两个空白框中，可以分别填入(　　 )

    A. 和　　 B. 和

    C. 和　　 D. 和

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 已知锐角满足，则（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 如图，圆M、圆N、圆P彼此相外切，且内切于正三角形ABC中，在正三角形ABC内随机取一点，则此点取自三角形MNP（阴影部分）的概率是

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C的左，右支于另一点，且，则双曲线的离心率为(　　 )

    A. 　　 B. 3　　 C. 2　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 设函数（，e为自然对数的底数）.定义在R上的函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个零点，则实数a的取值范围为(　 )

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 在△ABC中，a=3，，B=2A，则cosA=______．

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知平面α，β，直线.给出下列命题：

    ① 若，，则；

    ② 若，，则；

    ③ 若，则；

    ④ 若，，则.

    其中是真命题的是　　　　　　 ．（填写所有真命题的序号）．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点.设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④函数的值域是；⑤.其中判断正确的序号是__________．

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 7 题

  1. 已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项．

    （1）求；

    （2）若，求数列的前项和．

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 某市有四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览、和的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.

    （1）求该游客至多游览一个景点的概率；

    （2）用随机变量表示该游客游览的景点的个数，求的概率分布和数学期望.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图（1），等腰梯形，，，，、分别是的两个三等分点.若把等腰梯形沿虚线、折起，使得点和点重合，记为点，如图（2）.

    （Ⅰ）求证：平面平面；

    （Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 设椭圆()的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．

    (Ⅰ)求椭圆的方程；

    (Ⅱ)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 已知，.

    （1）若，证明函数在单调递增；

    （2）设 ，对任意，恒成立，求实数的取值范围.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 已知直线：（为参数），曲线（为参数）．

    （1）设与相交于，两点，求；

    （2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线距离的最小值．

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 函数，其中，若的解集为．

    （1）求的值；

    （2）求证：对任意，存在，使得不等式成立．

    难度: 中等查看答案及解析