2019届北京市高三上学期开学考试数学（理）试卷

试卷详情

本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 6 题，中等难度 12 题，困难题 5 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

若复数满足，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
设集合，，则（　　）
A. B.
C. D.

难度: 简单查看答案及解析
将420名工人编号为：001，002，，420，采用系统抽样的方法抽取一个容量为60的样本，且随机抽得的号码为005．这420名工人来自三个工厂，从001到200为工厂，从201到355为工厂，从356到420为工厂，则三个工厂被抽中的工人数依次为（　　）
A.28，23，9 B.27，23，10 C.27，22，11 D.28，22，10

难度: 简单查看答案及解析
已知公差不为0的等差数列的首项，若，，成等比数列，则的前5项之和为（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
若函数在处的切线方程为，则，的值为(　　 )
A.2,1 B.-2，-1 C.3,1 D.-3，-1

难度: 简单查看答案及解析
在平行四边形中，为与的交点，若，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（　　）
A. B. C.18 D.27

难度: 中等查看答案及解析
设抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，若，且，则（　　）
A.3 B. C.2 D.4

难度: 中等查看答案及解析
若实数，满足，则的取值范围是（　　）
A.， B. C. D.，

难度: 中等查看答案及解析
在上随机地取一个数，则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知为双曲线右支上一点，为其左顶点，为其右焦点，满足，，则点到直线的距离为（　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成角为，则的最小值为　　
A. B. C. D.

难度: 困难查看答案及解析

填空题共 4 题

已知函数，则的零点个数为__．

难度: 简单查看答案及解析
已知数列满足，，则的通项公式为__．

难度: 中等查看答案及解析
某校开设类选修课4门，类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有__种．

难度: 中等查看答案及解析
已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是__．

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 7 题

在中，，，．
（1）求；
（2）若为的中点，求的长度．

难度: 中等查看答案及解析
如图，在四棱锥中，平面，四边形为矩形，是的中点，是的中点，点在线段上且．
（1）证明平面；
（2）当为多大时，在线段上存在点使得平面且与平面所成角为同时成立？

难度: 困难查看答案及解析
设盒子中装有6个红球，4个白球，2个黑球，且规定：取出一个红球得分，取出一个白球得分，取出一个黑球得分，其中，，都为正整数．
（1）当，，时，从该盒子中依次任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；
（2）当时，从该盒子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量为取出此球所得分数，若，，求和．

难度: 中等查看答案及解析
设椭圆的右焦点为，过点作直线与椭圆交于，两点，且坐标原点到直线的距离为1．
（1）当时，求直线的方程；
（2）求面积的最大值．

难度: 困难查看答案及解析
已知函数，为常数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求证：．

难度: 困难查看答案及解析
在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），点以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，求曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线与直线交于点，，若，求的值．

难度: 中等查看答案及解析
已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，若，求证：．

难度: 中等查看答案及解析