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本卷共 23 题,其中:
单选题 12 题,填空题 4 题,解答题 7 题
简单题 7 题,中等难度 12 题,困难题 4 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题
  1. 设集合,则(   )

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 是两个平面向量,则“”是“”的(  )

    A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知复数为虚数单位,则下列说法正确的是(   )

    A. B. C. D.的虚部为

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 已知定义在上的奇函数,满足时,,则的值为(   )

    A.-15 B.-7 C.3 D.15

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.它用九个圆环相连成串,以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载“两环互相贯为一得其关换,解之为三,又合而为一”.在某种玩法中,用表示解下个圆环所需的移动最少次数,满足,且,则解下4个圆环所需的最少移动次数为(   )

    A.7 B.10 C.12 D.18

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 若函数的大致图像如图所示,则的解析式可以为(   )

    A. B.

    C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于,当时,函数取得最小值,则的值为(   )

    A. B. C. D.

    难度: 简单查看答案及解析

  8. 图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图,1号到16号的同学的成绩依次为,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图,那么该程序框图输出的结果是(  )

      

    A.10 B.6 C.7 D.16

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 已知正方形的边长为,以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点,则的最大值是(   )

    A. B. C. D.

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 有一个长方形木块,三个侧面积分别为8,12,24,现将其削成一个正四面体模型,则该正四面体模型棱长的最大值为(   )

    A.2 B. C.4 D.

    难度: 困难查看答案及解析

  11. 已知在平面直角坐标系中,为坐标原点,,若平面内点满足,则的最大值为(   )

    A.7 B.6 C.5 D.4

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 函数,若存在实数,使得方程有三个相异实根,则实数的范围是(   )

    A. B. C. D.

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题
  1. 已知向量满足,且方向上的投影是,则实数__________

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 数列满足,且对于任意的都有,,则_______.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 在四面体中,都是边长为2的等边三角形,且平面平面,则该四面体外接球的体积为_______.

    难度: 困难查看答案及解析

  4. 双曲线的左、右焦点分别为右支上的一点,轴交于点的内切圆在边上的切点为,若,则的离心率为____.

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 7 题
  1. 中,角的对边分别为,已知.

    (1)若的面积为,求的值;

    (2)若,且角为钝角,求实数的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 中国北京世界园艺博览会于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举行.组委会为方便游客游园,特推出“导引员”服务.“导引员”的日工资方案如下:

    方案:由三部分组成

    (表一)

    底薪

    150元

    工作时间

    6元/小时

    行走路程

    11元/公里

    方案:由两部分组成:(1)根据工作时间20元/小时计费;(2)行走路程不超过4公里时,按10元/公里计费;超过4公里时,超出部分按15元/公里计费.已知“导引员”每天上班8小时,由于各种因素,“导引员”每天行走的路程是一个随机变量.试运行期间,组委会对某天100名“导引员”的行走路程述行了统计,为了计算方便对日行走路程进行取整处理.例如行走1.8公里按1公里计算,行走5.7公里按5公里计算.如表所示:

    (表二)

    行走路程

    (公里)

    人数

    5

    10

    15

    45

    25

    (Ⅰ)分别写出两种方案的日工资(单位:元)与日行走路程(单位:公里)的函数关系

    (Ⅱ)①现按照分层抽样的方工式从共抽取5人组成爱心服务队,再从这5人中抽取3人当小红帽,求小红帽中恰有1人来自的概率;

    ②“导引员”小张因为身体原因每天只能行走12公里,如果仅从日工资的角度考虑,请你帮小张选择使用哪种方案会使他的日工资更高?

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面为线段的中点.

    (1)若为线段上的动点,证明:平面平面

    (2)若为线段上的动点(不含),,三棱锥的体积是否存在最大值?如果存在,求出最大值;如果不存在,请说明理由.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知椭圆的左、右焦点分别为,过点的直线与椭圆交于两点,延长交椭圆于点的周长为8.

    (1)求的离心率及方程;

    (2)试问:是否存在定点,使得为定值?若存在,求;若不存在,请说明理由.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 设函数.

    (1)若,求函数的单调区间;

    (2)若曲线在点处的切线与直线平行.

    ①求的值;

    ②求实数的取值范围,使得恒成立.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 在直角坐标系中,圆的参数方程为为参数),经过变换,得曲线.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.

    (Ⅰ)求曲线的极坐标方程.

    (Ⅱ)若为曲线上的动点,且,证明:为定值.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知函数.

    (Ⅰ)若不等式恒成立,求正实数的取值范围;

    (Ⅱ)设实数为(Ⅰ)中的最大值.若正实数满足,求的最小值.

    难度: 简单查看答案及解析