2020届湖南师范大学附属中学高三月考试卷（三）数学理科试卷

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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 5 题，中等难度 13 题，困难题 5 题。总体难度: 中等

单选题共 12 题

已知集合，，且，则的可取值组成的集合为（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知复数，命题：复数的虚部为，命题：复数的模为1.下列命题为真命题的是（　　　）
A. B.
C. D.

难度: 简单查看答案及解析
若向量与满足，且，，则向量在方向上的投影为（）
A. B. C.-1 D.

难度: 简单查看答案及解析
公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟，按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（　　　）
A.米 B.米
C.米 D.米

难度: 简单查看答案及解析
已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记，，则a，b，c的大小关系为(　　 )
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
设：，，则使为真命题的一个充分非必要条件是（　　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知是两个不同的平面，是一条直线，给出下列说法：
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中说法正确的个数为（　　）
A.3 B.2 C.1 D.0

难度: 中等查看答案及解析
若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（　　）
A.20 B.90 C.15 D.45

难度: 中等查看答案及解析
设双曲线的右顶点为，右焦点为，为双曲线在第二象限上的点，直线交双曲线于点，若直线平分线段于，则双曲线的离心率是（　　）
A. B.2 C. D.3

难度: 中等查看答案及解析
已知函数，若存在，且，使，则实数的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
将函数图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为-1），则的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.

难度: 困难查看答案及解析
已知球是三棱锥的外接球，，，点是的中点，且，则球的表面积为（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

若，则的值是　　　．

难度: 中等查看答案及解析
湖南师大附中第33届体育节高二年级各班之间进行篮球比赛，某班计划从甲、乙两人中挑选服务人员，已知甲可能在16:00—17:00到达篮球场地，乙可能在16:30—17:00到达，若规定谁先到达就安排谁参加服务工作，则甲参加服务工作的概率是______.

难度: 中等查看答案及解析
过抛物线的焦点作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点，，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为______.

难度: 困难查看答案及解析
对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______.

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 7 题

在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角的值；
（2）若边上的高满足，求的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析
如图所示的多面体中，四边形是边长为2的正方形，平面.
(1)设BD与AC的交点为O，求证:平面；
(2)求二面角的正弦值.

难度: 中等查看答案及解析
已知椭圆：的离心率，左、右焦点分别为，，过右焦点任作一条直线，记与椭圆的两交点为，，已知的周长为定值.
（1）求椭圆的方程；
（2）记点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求面积的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析
某个地区计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水的年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：十亿立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超过12的年份有35年，超过12的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过12的概率；
（2）若水的年入流量与其蕴含的能量（单位：百亿万焦）之间的部分对应数据为如下表所示：

年入流量

6

8

10

12

14

蕴含的能量

1.5

2.5

3.5

5

7.5

用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（回归方程系数用分数表示）
（3）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：

年入流量

发电机最多可运行台数

1

2

3

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
附：回归方程系数公式：，.

难度: 困难查看答案及解析
已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）对实数，令，正实数，满足，求的最小值.

难度: 困难查看答案及解析
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设为曲线上的点，，垂足为，若的最小值为，求的值．

难度: 中等查看答案及解析
已知函数f(x)＝|x|＋|x＋a|.
(1)若存在x使得不等式f(x)≤3a－1成立，求实数a的取值范围；
(2)若不等式f(x)≤3a－1的解集为[b,b+3]，求实数a，b的值．

难度: 中等查看答案及解析

年入流量	6	8	10	12	14
蕴含的能量	1.5	2.5	3.5	5	7.5

年入流量
发电机最多可运行台数	1	2	3