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本卷共 20 题,其中:
填空题 14 题,解答题 6 题
简单题 7 题,中等难度 11 题,困难题 2 题。总体难度: 简单
填空题 共 14 题
  1. 已知复数,其中是虚数单位,则的模是__________.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 设离散型随机变量的概率分布如下:

    的值为__________.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线,则直线的方程为__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 直线与圆相交的弦长为__________.

    难度: 简单查看答案及解析

  5. ,则的大小关系是__________.

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 求值: __________.

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 有甲、乙、丙三项不同任务,甲需由人承担,乙、丙各需由人承担,从人中选派人承担这三项任务,不同的选法共有__________种.(用数字作答)

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 用反证法证明命题:“定义在实数集上的单调函数的图象与轴至多只有个交点”时,应假设“定义在实数集上的单调函数的图象与轴__________”.

    难度: 简单查看答案及解析

  9. 在圆中:半径为的圆的内接矩形中,以正方形的面积最大,最大值为.类比到球中:半径为的球的内接长方体中,以正方体的体积最大,最大值为__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 平面上画条直线,且满足任何条直线都相交,任何条直线不共点,则这条直线将平面分成__________个部分.

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 在平面直角坐标系中,已知点是椭圆上第一象限的点,为坐标原点,分别为椭圆的右顶点和上顶点,则四边形的面积的最大值为__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 的展开式中的所有的整数次幂项的系数之和为__________.

    难度: 中等查看答案及解析

  13. 湖面上有个相邻的小岛,现要建座桥梁,将这个小岛连接起来,共有__________不同方案.(用数字作答)

    难度: 中等查看答案及解析

  14. 一个袋中有形状、大小完全相同的个小球,其中个红球,其余为白球.从中一次性任取个小球,将“恰好含有个红球”的概率记为,则当__________时,取得最大值.

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 6 题
  1. 已知复数在复平面内对应的点位于第二象限,且满足.

    (1)求复数

    (2)设复数满足:为纯虚数,,求的值.

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知二阶矩阵对应的变换将点变换成,将点变换成.

    (1)求矩阵的逆矩阵

    (2)若向量,计算.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆极坐标方程为.

    (1)若直线与圆相切,求的值;

    (2)已知直线与圆交于两点,记点相应的参数分别为,当时,求的长.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 将正整数排成如图的三角形数阵,记第行的个数之和为.

    (1)设,计算的值,并猜想的表达式;

    (2)用数学归纳法证明(1)的猜想.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 有甲、乙两个游戏项目,要参与游戏,均需每次先付费元(不返还),游戏甲有种结果:可能获得元,可能获得元,可能获得元,这三种情况的概率分别为;游戏乙有种结果:可能获得元,可能获得元,这两种情况的概率均为.

    (1)某人花元参与游戏甲两次,用表示该人参加游戏甲的收益(收益=参与游戏获得钱数-付费钱数),求的概率分布及期望;

    (2)用表示某人参加次游戏乙的收益,为任意正整数,求证:的期望为.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 已知函数,其中.

    (1)若,求的值;

    (2)若,求的最大值;

    (3)若,求证:.

    难度: 困难查看答案及解析