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本卷共 22 题，其中：
选择题 11 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 4 题，中等难度 11 题，困难题 6 题。总体难度: 中等
选择题 共 11 题

  1. 已知复数，则（　　 ）

    A. 的模为2　　 B. 的虚部为-1　　 C. 的实部为1　　 D. 的共轭复数为

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 已知集合， ，则集合的子集个数为（　　　 ）

    A. 8　　 B. 7　　 C. 6　　 D. 4

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知随机变量服从正态分布， ，则（　　 ）

    A. 0.16　　 B. 0.32　　 C. 0.68　　 D. 0.84

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（　　　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a、b分别为5、2，则输出的n等于

    A. 2　　 B. 3

    C. 4　　 D. 5

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　 ）

    A. 10　　 B. 20　　 C. 40　　 D. 60

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知，则（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：

    ①；

    ②函数是偶函数；

    ③任意一个非零有理数， 对任意恒成立；

    ④存在三个点， ， ，使得为等边三角形．

    其中真命题的个数是（　 ）

    A. 4　　 B. 3　　 C. 2　　 D. 1

    难度: 简单查看答案及解析

  9. 对于常数，“关于的方程有两个正根” 是“方程的曲线是椭圆” 的（　　 ）

    A. 充分不必要条件　　 B. 必要不充分条件

    C. 充要条件　　 D. 即不充分也不必要条件

    难度: 困难查看答案及解析

  10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，抛物线的准线交双曲线左支于两点，且，其中为原点，则双曲线的离心率为（　　 ）

    A. 2　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 困难查看答案及解析

  11. 已知函数 ，与函数，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（　　 ）．

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 已知满足，若目标函数的最大值为，则展开式的常数项为__________．

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 在中， 分别是角的对边，已知，若，则的取值范围是__________．

    难度: 困难查看答案及解析

  3. 已知，则__________．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对所有实数均成立，则称函数为“期望函数”，给出下列函数：

    ①；②；③；④；

    其中为“期望函数”的是__________．（写出所有正确的序号）

    难度: 极难查看答案及解析

解答题 共 7 题

  1. 设是数列的前项和，已知， ， .

    （1）求数列的通项公式；

    （2）令，求数列的前项和.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（，简称）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照大小分为六级， 为优； 为良； 为轻度污染； 为中度污染； 为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的的茎叶图如下：

    （1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（）的天数；（按这个月总共30天计算）

    （2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；

    （3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为，求的概率分布列和数学期望.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图，四棱锥底面为正方形，已知平面， ，点为线段上任意一点（不含端点），点在线段上，且.

    （1）求证：直线平面；

    （2）若为线段中点，求直线与平面所成的角的余弦值.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知圆与轴交于两点，点为圆上异于的任意一点，圆在点处的切线与圆在点处的切线分别交于，直线和交于点，设点的轨迹为曲线.

    （1）求曲线的方程；

    （2）曲线与轴正半轴交点为，则曲线是否存在直角顶点为的内接等腰直角三角形，若存在，求出所有满足条件的的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由.

    难度: 困难查看答案及解析

  5. 定义：设为上的可导函数，若为增函数，则称为上的凸函数.

    （1）判断函数与是否为凸函数；

    （2）设为上的凸函数，求证：若， ，则恒有成立；

    （3）设， ， ，求证： .

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 圆锥曲线的极坐标方程为： .

    （1）以极点为原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程，并求曲线在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标；

    （2）直线的极坐标方程为，若曲线上的点到直线的距离最大，求点的坐标（直角坐标和极坐标均可）.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. （1）已知对于任意非零实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围；

    （2）已知不等式的解集为，若，试比较与的大小.（并说明理由）

    难度: 中等查看答案及解析