广东省中山市2018届高三上学期期末考试数学（理）试卷

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本卷共 22 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 6 题
简单题 5 题，中等难度 14 题，困难题 3 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

已知集合，，若，则的值为（）
A. 2　　 B. 　　 C. 或2　　 D. 2或

难度: 简单查看答案及解析
若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
已知实数，，，则，，的大小关系是（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为（　　）
A. 0　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
若，满足则的最大值为（　　）
A. 1　　 B. 4　　 C. 6　　 D. 8

难度: 中等查看答案及解析
[2018·赣中联考]李冶（1192-1279），真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（　　）
A. 10步，50步　　 B. 20步，60步　　 C. 30步，70步　　 D. 40步，80步

难度: 中等查看答案及解析
若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（）
A. 2　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
已知函数与的图象如下图所示，则函数的递减区间（　　）
A．　　　　　　　　　　 B．，
C．　　　　　　　　　 D．，

难度: 困难查看答案及解析
已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（　）
A. 48种　　 B. 72种　　 C. 78种　　 D. 84种

难度: 中等查看答案及解析
在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（　　　）
A. 　　 B.
C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（　　　　）
A. 1　　 B. 　　 C. 　　 D. 3

难度: 简单查看答案及解析
已知函数，其周期为，，则（　　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析

填空题共 4 题

已知，则__________．

难度: 中等查看答案及解析
已知，，则__________．

难度: 中等查看答案及解析
某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为________．

难度: 中等查看答案及解析
数列的前项和，已知，且对任意正整数，都有，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是__________．

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 6 题

设等差数列的前项和，且.
（1）求的通项公式；
（2）若不等式对所有的正整数都成立，求实数的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析
如图，在中，，点在线段上.
（1）若,求的长；
（2）若的面积为,求的值.

难度: 中等查看答案及解析
某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．
（1）求关于的函数关系式；
（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？

难度: 困难查看答案及解析
某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作①，②，③，④，⑤.
（1）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（）项的概率.
（2）“科二”考试中，学员需缴纳150元的报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行）；如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束；每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行，学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次，某学院每轮测试或补考通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考.
①求该学员能通过“科二”考试的概率；
②求该学员缴纳的考试费用的数学期望.

难度: 中等查看答案及解析
如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，点是棱的中点，平面与棱交于点.
（1）求证：；
（2）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

难度: 困难查看答案及解析
已知函数，．
（1）若，求函数的单调递减区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
（3）若，正实数，满足，证明：．

难度: 中等查看答案及解析