2007年北京市高考数学试卷（理科）（解析版）

试卷详情

本卷共 20 题，其中：
选择题 8 题，填空题 1 题，解答题 11 题
中等难度 20 题。总体难度: 中等

选择题共 8 题

已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第一或第四象限角
难度: 中等查看答案及解析
对于函数①f（x）=lg（|x-2|+1），②f（x）=（x-2）²，③f（x）=cos（x+2），判断如下三个命题的真假：
命题甲：f（x+2）是偶函数；
命题乙：f（x）在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；
命题丙：f（x+2）-f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）
A．①③
B．①②
C．③
D．②
难度: 中等查看答案及解析
记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）
A．1440种
B．960种
C．720种
D．480种
难度: 中等查看答案及解析
平面α∥平面β的一个充分条件是（）
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
难度: 中等查看答案及解析
函数f（x）=3^x（0＜x≤2）的反函数的定义域为（）
A．（0，+∞）
B．（1，9]
C．（0，1）
D．[9，+∞）
难度: 中等查看答案及解析
已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）
A．
B．
C．
D．
难度: 中等查看答案及解析
若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）
A．
B．0＜a≤1
C．0＜a≤1或
D．
难度: 中等查看答案及解析
如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（）
A．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
B．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
C．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
D．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
难度: 中等查看答案及解析

填空题共 1 题

已知函数f（x），g（x）分别由下表给出

x 1 2 3

f（x） 1 3 1

x 1 2 3

g（x） 3 2 1

则f[g（1）]的值为________；满足f[g（x）]＞g[f（x）]的x的值是________．
难度: 中等查看答案及解析

解答题共 11 题

=________．
难度: 中等查看答案及解析
若数列{a_n}的前n项和S_n=n²-10n（n=1，2，3，…），则此数列的通项公式为________；数列na_n中数值最小的项是第________项．
难度: 中等查看答案及解析
在△ABC中，若tanA=，C=150°，BC=2，则AB=________．
难度: 中等查看答案及解析
已知集合A={x||x-a|≤1}，B={x|x²-5x+4≥0}．若A∩B=∅，则实数a的取值范围是________．
难度: 中等查看答案及解析
2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________．

难度: 中等查看答案及解析
数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{a_n}的通项公式．
难度: 中等查看答案及解析
如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．动点D在斜边AB上．
（I）求证：平面COD⊥平面AOB；
（II）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值大小；
（III）求CD与平面AOB所成角最大时的正切值大小．

难度: 中等查看答案及解析
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x-3y-6=0点T（-1，1）在AD边所在直线上．
（I）求AD边所在直线的方程；
（II）求矩形ABCD外接圆的方程；
（III）若动圆P过点N（-2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．

难度: 中等查看答案及解析
某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
难度: 中等查看答案及解析
如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．
（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；
（Ⅱ）求面积S的最大值．
难度: 中等查看答案及解析
已知集合A={a₁，a₂，…，a_k（k≥2）}，其中a_i∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有-a∉A，则称集合A具有性质P．
（I）检验集合{0，1，2，3}与{-1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
（II）对任何具有性质P的集合A，证明：；
（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
难度: 中等查看答案及解析

x	1	2	3
f（x）	1	3	1
x	1	2	3
g（x）	3	2	1