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本卷共 25 题,其中:
选择题 14 题,填空题 6 题,解答题 5 题
中等难度 25 题。总体难度: 中等
选择题 共 14 题
  1. 设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且2f(x)+xf′(x)>x2,下面的不等式在R内恒成立的是( )
    A.f(x)>0
    B.f(x)<0
    C.f(x)>
    D.f(x)<

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,假设正确的是( )
    A.假设三内角都不大于60度
    B.假设三内角都大于60度
    C.假设三内角至多有一个大于60度
    D.假设三内角至多有两个大于60度

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 可导函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的( )
    A.充分条件
    B.必要条件
    C.必要非充分条件
    D.充要条件

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N*)时命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立.现已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得( )
    A.当n=6时,该命题不成立
    B.当n=6时,该命题成立
    C.当n=4时,该命题不成立
    D.当n=4时,该命题成立

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 已知函数f(x)在R上可导,且f(x)=x2+2x•f′(2),则f(-1)与f(1)的大小关系为( )
    A.f(-1)=f(1)
    B.f(-1)>f(1)
    C.f(-1)<f(1)
    D.不确定

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 用三段论推理:“任何实数的平方大于0,因为a是实数,所以a2>0”,你认为这个推理( )
    A.大前提错误
    B.小前提错误
    C.推理形式错误
    D.是正确的

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知函数f(x)=x•cos2x,则f(x)的导函数f′(x)=( )
    A.cos2x-2xsin2
    B.cos2x-xsin2
    C.cos2x+2xsin2
    D.cos2x+xsin2

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 一个物体的运动方程为s=1-t+t2其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是( )
    A.7米/秒
    B.6米/秒
    C.5米/秒
    D.8米/秒

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 观察按下列顺序排序的等式:9×0+1=1,9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=31,…,猜想第n(n∈N*)个等式应为( )
    A.9(n+1)+n=10n+9
    B.9(n-1)+n=10n-9
    C.9n+(n-1)=10n-1
    D.9(n-1)+(n-1)=10n-10

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 若f(x)=ex,则=( )
    A.e
    B.-e
    C.2e
    D.-2e

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 设函数y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)可能为( )

    A.
    B.
    C.
    D.

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为( )
    A.1
    B.3
    C.-4
    D.-8

    难度: 中等查看答案及解析

  13. 点P从点O出发,按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周,O,P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如右图所示,那么点P所走的图形是( )
    A.
    B.
    C.
    D.

    难度: 中等查看答案及解析

  14. 如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S′(t)的图象大致为( )

    A.
    B.
    C.
    D.

    难度: 中等查看答案及解析

填空题 共 6 题
  1. 若f(x)=x3,f′(x)=3,则x的值为 ________.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为________.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 已知函数f(x)=2ex-mx(其中e≈2.718…)在区间[-1,0]上单调递减,则实数m的取值范围为________.

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是________.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 用数学归纳法证明不等式1+++…+(n∈N*)成立,其初始值至少应取________.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 类比余弦定理,在△DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2DF•EF∠DFE.拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱ABC-A1B1C1BC的3个侧面面积之间的关系式(其中θ为侧面为ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角)________.

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 5 题
  1. 已知函数y=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3.
    (1)求a,b的值;
    (2)求函数y的极小值.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 已知数列,…,,…,Sn为该数列的前n项和,
    (1)计算S1,S2,S3,S4
    (2)根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
    (1)sin213°+cos217°-sin13°cos17°
    (2)sin215°+cos215°-sin15°cos15°
    (3)sin218°+cos212°-sin18°cos12°
    (4)sin2(-18°)+cos248°-sin2(-18°)cos48°
    (5)sin2(-25°)+cos255°-sin2(-25°)cos55°
    (Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
    (Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 已知函数
    (1)若f(x)是单调函数,求a的取值范围;
    (2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:f(x1)+f(x2)>3-2ln2.

    难度: 中等查看答案及解析