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本卷共 14 题，其中：
解答题 14 题
中等难度 14 题。总体难度: 中等
解答题 共 14 题
  1. 已知函数．
    （Ⅰ）求f（x）的极值；
    （Ⅱ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 设．
    （I）求f（x）的单调区间与极值；
    （II）求方程f（x）=0的实数解的个数．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 如图，矩形ABCD内接于由函数图象围成的封闭图形，其中顶点C，D在y=0上，求矩形ABCD面积的最大值．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 设数列{an}的前n项和Sn=3an-2（n=1，2，…）．
    （Ⅰ）证明数列{an}是等比数列；
    （Ⅱ）若bn+1=an+bn（n=1，2，…），且b1=-3，求数列{bn}的前n项和Tn．

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 数列{an}满足a1=2，an+1=（λ-3）an+2n，（n=1，2，3…）
    （Ⅰ） 当a2=-1时，求λ及a3；
    （Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{an}为等差数列或等比数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由．

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．
    分数（分数段） 频数（人数） 频率
    [60，70） ① 0.16
    [70，80） 22 ②
    [80，90） 14 0.28
    [90，100） ③ ④
    合计 50 1
    （1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；
    （2）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，答对2道题就终止答题，并获得一等奖．如果前三道题都答错，就不再答第四题．某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同．
    ①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；
    ②记该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及数学期望．

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取球．
    （Ⅰ）若有放回地取3次，每次取1个球，求取出1个红球2个黑球的概率；
    （Ⅱ）若无放回地取3次，每次取1个球，
    ①求在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率；
    ②求取出的红球数X 的分布列和数学期望．

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 已知，
    （Ⅰ）若x是从-1，0，1，2四个数中任取的一个数，y是从-1，0，1三个数中任取的一个数，求的概率．
    （Ⅱ）若x是从区间[-1，2]中任取的一个数，y是从区间[-1，1]中任取的一个数，求的夹角是锐角的概率．

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 一个袋中装有大小相同的黑球和红球，已知袋中共有5个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现将黑球和红球分别从数字1开始顺次编号．
    （Ⅰ）若从袋中有放回地取出两个球，每次只取出一个球，求取出的两个球上编号为相同数字的概率．
    （Ⅱ）若从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回．求取出的两个球上编号之积为奇数的概率．

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 据统计，从5月1日到5月7号参观上海世博会的人数如表所示：
    日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
    人数（万） 21 23 13 15 9 12 14
    其中，5月1日到5月3日为指定参观日，5月4日到5月7日为非指定参观日．
    （Ⅰ）把这7天的参观人数看成一个总体，求该总体的平均数（精确到0.1）
    （Ⅱ）用简单随机抽样方法从非指定参观日中抽取2天，它们的参观人数组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过2万的概率．

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 如图，椭圆的左顶点、右焦点分别为A，F，直线l的方程为x=9，N为l上一点，且在x轴的上方，AN与椭圆交于M点
    （1）若M是AN的中点，求证：MA⊥MF．
    （2）过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，求|PQ|的范围．

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 已知圆F：x2+（y-1）2=1，动圆P与定圆F在x轴的同侧且与x轴相切，与定圆F相外切．
    （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
    （Ⅱ）已知M（0，2），是否存在垂直于y轴的直线m，使得m被以PM为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出m的方程；若不存在，说明理由．

    难度: 中等查看答案及解析

  13. 已知A，B是抛物线x2=4y上两个动点，且直线AO与直线BO的倾斜角之和为，试证明直线AB过定点．

    难度: 中等查看答案及解析

  14. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围．

    难度: 中等查看答案及解析