已知数列的前项和为，.（1）若，求证：，，必可以被分为1组或2组，使得每组所有数的和小于1...

已知数列的前项和为，.

（1）若，求证：，，必可以被分为1组或2组，使得每组所有数的和小于1；

（2）若，求证：， …，，必可以被分为组，使得每组所有数的和小于1.

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已知为正整数，数列满足，，设数列满足.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）若数列是等差数列，求实数的值；

（3）若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.

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已知数列中，，，其前项和满足.令.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求证：（）；

（Ⅲ）令（），求同时满足下列两个条件的所有的值：①对于任意正整数，都有；②对于任意的，均存在，使得时，.

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已知数列中,,其前项和满足:,令

.

(1) 求数列的通项公式；

(2) 若,求证:;

(3) 令,问是否存在正实数同时满足下列两个条件?

①对任意,都有；

②对任意的,均存在,使得当时总有.

若存在,求出所有的; 若不存在,请说明理由.

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设数列的所有项都是不等于的正数，的前项和为，已知点在直线上（其中常数，且）数列，又.

（1）求证数列是等比数列；

（2）如果，求实数的值；

（3）若果存在使得点和都在直线在上，是否存在自然数，当（）时，恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.

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（本题满分14分）在数列中，时，其前项和满足：.

（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并用表示；

（Ⅱ）令，数列的前项和为求使得对所有都成立的实数的取值范围．

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已知等比数列的首项，公比，数列前项的积记为.

（1）求使得取得最大值时的值；

（2）证明中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为，证明:数列为等比数列.

（参考数据）

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（本题满分15分）在数列中，，当时，满足．

（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，数列的前项和为，求使得对所有都成立的实数的取值范围．

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设为关于的次多项式，数列的首项，前项和为，对于任意的正整数，都成立．

（1）若，求证：数列是等比数列；

（2）试确定所有的自然数，使得数列能成等差数列．

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设为关于的次多项式，数列的首项，前项和为，对于任意的正整数，都成立．

（1）若，求证：数列是等比数列；

（2）试确定所有的自然数，使得数列能成等差数列．

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