2012-2013学年黑龙江省哈尔滨市高三第四次模拟考试理科数学试卷（解析版）

试卷详情

本卷共 23 题，其中：
选择题 11 题，填空题 4 题，解答题 8 题
简单题 18 题，中等难度 4 题，困难题 1 题。总体难度: 简单

选择题共 11 题

定义，已知。则（）
A． B． C． D．

难度: 简单查看答案及解析
已知，为虚数单位，且，则的值为（）
A． B． C． D．

难度: 简单查看答案及解析
设是等差数列的前项和，若，则等于（）
A． B． C． D．

难度: 简单查看答案及解析
已知是实数，则“且”是“”的（   ）
A．充分不必要条件                        B．必要不充分条件
C．充要条件                             D．既不充分也不必要条件

难度: 简单查看答案及解析
设函数，其中，，则的展开式中的系数为（）
A． B． C． D．

难度: 简单查看答案及解析
过原点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ）
A．                             B．
C．                      D．

难度: 简单查看答案及解析
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(    )
A．                             B．
C．                            D．

难度: 简单查看答案及解析
执行如图的程序框图，若输出的，则输入整数的最小值是( )
A．15 B．14 C．7 D．8

难度: 简单查看答案及解析
已知，且，则下列不等式一定成立的是（   ）
A．                              B．
C．                           D．

难度: 简单查看答案及解析
将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（　）
A．80 B．120 C．140 D．180

难度: 简单查看答案及解析
中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，直线与双曲线交于两点，线段中点在第一象限，并且在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为，则直线的斜率为（）
A． B． C． D．

难度: 简单查看答案及解析

填空题共 4 题

函数的图象与函数的图象的公共点个数是________个。

难度: 简单查看答案及解析
已知满足约束条件，且恒成立，则的取值范围为________。

难度: 简单查看答案及解析
已知数列的首项，且对任意的都有，则________。

难度: 简单查看答案及解析
下列说法正确的是________。
（1）从匀速传递的产品生产流水线上，质检人员每20分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样方法为分层抽样；
（2）两个随机变量相关性越强，相关系数的绝对值越接近1，若或时，则与的关系完全对应（即有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上；
（3）在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；
（4）对于回归直线方程，当每增加一个单位时，平均增加12个单位；
（5）已知随机变量服从正态分布，若，则。

难度: 简单查看答案及解析

解答题共 8 题

在中，角所对的边分别为，若。
（1）求证；
（2）若的平分线交于，且，求的值。

难度: 简单查看答案及解析
哈尔滨市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为。

优秀

非优秀

合计

甲班

10

乙班

30

合计

110

（1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号。试求抽到9号或10号的概率。
参考公式与临界值表：。

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

难度: 简单查看答案及解析
如图，在四棱锥中，顶点在底面内的射影恰好落在的中点上，又，且
（1）求证：；
（2）若，求直线与所成角的余弦值；
（3）若平面与平面所成的角为，求的值。

难度: 中等查看答案及解析
已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，点是点关于轴的对称点，过点的直线交抛物线于两点。
（1）试问在轴上是否存在不同于点的一点，使得与轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点的坐标，若不存在说明理由。
（2）若的面积为，求向量的夹角；

难度: 中等查看答案及解析
设函数。
（1）求函数的最小值；
（2）设，讨论函数的单调性；
（3）斜率为的直线与曲线交于,两点，求证：。

难度: 困难查看答案及解析
如图所示，已知是圆的直径，是弦，，垂足为，平分。
（1）求证：直线与圆的相切；
（2）求证：。

难度: 简单查看答案及解析
在平面直角坐标系中，曲线为为参数）。在以为原点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，射线为，与的交点为，与除极点外的一个交点为。当时，。
（1）求，的直角坐标方程；
（2）设与轴正半轴交点为，当时，设直线与曲线的另一个交点为，求。

难度: 中等查看答案及解析
已知函数。
（1）若的解集为，求实数的值。
（2）当且时，解关于的不等式。

难度: 中等查看答案及解析

	优秀	非优秀	合计
甲班	10
乙班		30
合计			110

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828