2015届吉林省长春市高二下学期期末考试理科数学试卷（解析版）

试卷详情

本卷共 24 题，其中：
选择题 12 题，填空题 4 题，解答题 8 题
简单题 9 题，中等难度 11 题，困难题 3 题。总体难度: 简单

选择题共 12 题

设全集，集合，，则（　　）
A.　　　　　　 B.　　　　 C.　　　　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
已知，则（　　）
A.　　　　　B.　　　　 C.　 D.

难度: 简单查看答案及解析
一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（　　）
A.球　　　　　　　 B.三棱锥　　　　 C.正方体　　　　　 D.圆柱

难度: 简单查看答案及解析
设某大学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据（），用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（　　）
A.与具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心
C.若该大学某女生身高增加，则其体重约增加
D.若该大学某女生身高为，则可断定其体重为

难度: 简单查看答案及解析
设△的内角所对边的长分别为，若，，则角（　　）
A. 　　　　　　　　 B. 　　　　　 C. 　　　　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
设点是线段的中点，点在直线外，，，则（　　）
A.8　　　　 B.4　　　　　 C.2　　　　 D.1

难度: 简单查看答案及解析
下列命题中，真命题的个数有（　　）
①；
②；
③“”是“”的充要条件；
④是奇函数.
A.1个　　　　　　 B.2个　　　　　　 C.3个　　　　　　　 D.4个

难度: 中等查看答案及解析
若，，且，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A.　　　　　　　 B.
C.　　　　　　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
在矩形中，，如果在该矩形内随机取一点，那么使得△与△的面积都不小于的概率是（　　）
A.　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　 C.　　　　　　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
数列的首项为，数列为等比数列且，若，则（　　）
A.20　　　　　　　　　　 B.512　　　　　　　　 C.1013　　　　　　 D.1024

难度: 简单查看答案及解析
在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为（　　）
A.6　　　　　 B.　　　 C.9　　　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
已知函数的两个极值点分别为，且，点表示的平面区域为，若函数（）的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围是（　　）
A. 　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　 C. 　　　　　 D.

难度: 困难查看答案及解析

填空题共 4 题

对任意实数，有，
则的值为　　　　　　　　　 .

难度: 中等查看答案及解析
直线（为参数）被曲线所截得的弦长为　　　　　　　　　 .

难度: 中等查看答案及解析
将排成一排，要求在排列中，顺序为“”或“”（可以不相邻），这样的排法有　　　　　　　　　种.

难度: 中等查看答案及解析
定义在上的函数满足：①当时，；②.设关于的函数的零点从小到大依次为.若，则　　　　　　　　　 .（用表示）

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 8 题

在中，角所对的边分别为，已知，
（1）求的大小；
（2）若，求的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析
如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且，,，点分别为、、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求二面角的余弦值.

难度: 困难查看答案及解析
甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次任意抽取3道题，独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中的2题就停止答题，即闯关成功。已知6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是．
（1）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
（2）设甲答对题目的个数为，求的分布列及数学期望．

难度: 中等查看答案及解析
设分别是椭圆的左，右焦点.
（1）若是椭圆在第一象限上一点，且，求点坐标；
（2）设过定点的直线与椭圆交于不同两点，且为锐角（其中为原点），求直线的斜率的取值范围.

难度: 极难查看答案及解析
设函数（），其导函数为.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，，求证：.

难度: 中等查看答案及解析
如图所示，是⊙直径，弦的延长线交于，垂直于的延长线于.求证：
（1）；
（2）.

难度: 中等查看答案及解析
已知极坐标系的原点在直角坐标系的原点处，极轴为轴正半轴，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.
（1）写出的直角坐标方程，并说明是什么曲线？
（2）设直线与曲线相交于、两点，求.

难度: 中等查看答案及解析
设函数
（1）解不等式；
（2）求函数的最小值.

难度: 简单查看答案及解析