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2009年安徽省宣城市广德中学高中自主招生数学试卷(解析版)
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试卷详情
本卷共 14 题,其中:
选择题 6 题,填空题 4 题,解答题 4 题
中等难度 14 题。总体难度: 中等
选择题 共 6 题
已知实数a≠b,且满足(a+1)
2
=3-3(a+1),(b+1)
2
=3-3(b+1),则
的值为( )
A.23
B.-23
C.-2
D.-13
难度: 中等
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已知二次函数y=ax
2
+bx+c的图象如图所示,记p=|a-b+c|+|2a+b|,q=|a+b+c|+|2a-b|,则p与q的大小关系为( )
A.p>q
B.P=q
C.p<q
D.p、q大小关系不能确定
难度: 中等
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已知点I是锐角三角形ABC的内心,A
1
,B
1
,C
1
分别是点I关于BC,CA,AB的对称点,若点B在△A
1
B
1
C
1
的外接圆上,则∠ABC等于( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
难度: 中等
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图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成,如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是( )
A.
B.
C.
D.
难度: 中等
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正五边形ABCDE中,已知△ABC面积为1,则这正五边形面积是( )
A.
B.
C.
D.
难度: 中等
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如图,在等边△ABC中,D、E、F是三边中点.在图中可以数出的三角形中,任选一对三角形(不计顺序),如果这2个三角形至少有一条边相等,便称之为一对“友好三角形”.那么,从图中选出“友好三角形”共有( )
A.120对
B.240对
C.234对
D.114对
难度: 中等
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填空题 共 4 题
已知a,b,c为整数,且a+b=2006,c-a=2005.若a<b,则a+b+c的最大值为 ________.
难度: 中等
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已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=2,ax+by=5,则(a
2
+b
2
)xy+ab(x
2
+y
2
)=________.
难度: 中等
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在正方形ABCD中,点E是BC上的一定点,且BE=10,EC=14,点P是BD上的一动点,则PE+PC的最小值是________.
难度: 中等
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将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列,处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时),或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数,现有一组数据共100个数,其中有15个数在中位数和平均数之间,如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中,那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是________
难度: 中等
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解答题 共 4 题
阅读下列材料:
现给如下定义:以x为自变量的函数用y=f(x)表示,对于自变量x取值范围内的一切值,总有f(-x)=f(x)成立,则称函数y=f(x)为偶函数.用上述定义,我们来证明函数f(x)=x
2
+1是偶数.
证明:∵f(-x)=(-x)
2
+1=x
2
+1=f(x)
∴f(x)是偶函数.
根据以上材料,解答下面的问题:
已知函数
①若f(x)是偶数函数,且
,求f(-1);
②若a=1,求证:f(x)是偶数.
难度: 中等
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已知AB是圆O的直径,PB切圆O于点B,∠APB的平分线分别交BC、AB于点D、E,交圆O于点F,PA交圆O于点C,∠A=60°,线段AE、BD的长是一元二次方程
(k为常数)的两个根.
(1)求证:PA•BD=PB•AE;
(2)求证:圆O的直径为k;
(3)求tan∠FPA.
难度: 中等
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设
,求不超过S的最大整数[S].
难度: 中等
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某列从上海到温州的火车,包括起始和终点在内共有6个停靠站,将这6个站按火车到达的先后次序,依次记为A,B,C,D,E,F.小张乘坐这趟列车从上海出发去温州,火车驶离上海时,小张发现他乘坐的车厢里连他自己在内共19名旅客,这些旅客小张都认识,其中有些是浙江人,其他的都是上海人.一路上小张观测到下列情况:①除了终点站,在每一站,当火车到达时这节车厢里浙江人的人数与下车旅客的人数相同,且这次行程中没有新的旅客进入这节车厢;②当火车离开车站B时,车厢里有12名旅客;当火车离开车站D时,还有7名旅客在这一车厢里;在F站下车的旅客包括小张在内共5人.
(1)火车驶离上海时,小张乘坐的这节车厢里共有多少浙江人?多少上海人?
(2)在B到C、C到D、D到E的旅途中,分别有多少浙江人?多少上海人?
难度: 中等
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