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本卷共 24 题,其中:
选择题 12 题,填空题 4 题,解答题 8 题
简单题 14 题,中等难度 8 题,困难题 2 题。总体难度: 简单
选择题 共 12 题
  1. 已知,若,则(   )

    A.   B.   C.    D.或0

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 设复数,则(   )

    A.   B.  C.   D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 武汉市2015年各月的平均气温()数据的茎叶图如图所示,则这组数据的中位数是(    )

    A.25.5   B.22   C.20.5   D.20

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 设等比数列的前项和为,则“”是“”的(    )

    A.充分不必要条件  

    B.必要不充分条件  

    C.充要条件  

    D.既不充分也不必要条件

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 在平行四边形中,,将此平行四边形沿折成直二面角,则三棱锥外接球的表面积为(    )

    A.   B.   C.   D.

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 对于函数,给出下列四个命题:

    ①存在,使

    ②存在,使恒成立;

    ③存在,使函数的图象关于坐标原点成中心对称;

    ④函数的图象关于直线对称;

    ⑤函数的图象向左平移个单位长度就能得到的图象.

    其中正确命题的序号是(    )

    A.①②③     B.③④⑤     C.②③⑤    D.③④

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数后输出的,则的值为(     )

    A.3         B.4         C.5           D.6

    难度: 简单查看答案及解析

  8. 已知是定义在上的两个函数,且对恒成立. 命题:若为偶函数,则也为偶函数;命题:若时,上恒成立,则上的单调函数.则下列命题正确的是(    )

    A.   B.   C.   D.

    难度: 简单查看答案及解析

  9. 已知点是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为(    )

    A.2   B.3   C.4   D.5

    难度: 简单查看答案及解析

  10. 若点是锐角所在的平面内的动点,且,给出下列命题:

    恒成立;

    的最小值为

    ③点的轨迹是一条直线;

    ④存在点使.

    其中正确的命题为(    )

    A.①③     B.②④     C.③④     D.②③④

    难度: 简单查看答案及解析

  11. 如图所示,网格上的小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各面面积中的最大值为(    )

    A.16        B.8         C.        D.6

    难度: 简单查看答案及解析

  12. 已知,设函数存在极大值点,且对于的任意可能取值,恒有极大值,则下列结论中正确的是(   )

    A.存在,使得    

    B.存在,使得

    C.的最大值为              

    D.的最大值为

    难度: 中等查看答案及解析

填空题 共 4 题
  1. ,则         .

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 给定双曲线,若直线的中心,且与交于两点,为曲线上任意一点,若直线的斜率均存在且分别记为,则        .

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知点的坐标满足,则的取值范围为        .

    难度: 困难查看答案及解析

  4. 在数列中,是数列的前项和,当不等式恒成立时,的所有可能取值为        .

    难度: 困难查看答案及解析

解答题 共 8 题
  1. 为了应对日益严重的气候问题,某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器,这种仪器可以弹射到空中进行气候观测,如图所示,三地位于同一水平面上,这种仪器在地进行弹射实验,观测点两地相距100米,,在地听到弹射声音的时间比地晚秒,在地测得该仪器至最高点处的仰角为.

    (1)求两地的距离;

    (2)求这种仪器的垂直弹射高度(已知声音的传播速度为340米/秒).

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 如图,平面分别是的中点,.

    (1)求二面角的余弦值;

    (2)点是线段上的动点,当直线所成的角最小时,求线段的长.

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体验表,并得到如图的频率分布直方图.

    (1)若直方图中后四组的频率成等差数列,试估计全年级视力在以下的人数;

    (2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在1~50名和951~1000名的学生进行了调查,得到下表中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?

    (3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人,进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这9人中任取3人,记名次在1~50的学生人数为,求的分布列和数学期望.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 如图,曲线由两个椭圆和椭圆组成,当成等比数列时,称曲线为“猫眼曲线”.

    (1)若猫眼曲线过点,且的公比为,求猫眼曲线的方程;

    (2)对于题(1)中所求的猫眼曲线,任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交,交椭圆所得弦的中点为,交椭圆所得弦的中点为,试问:是否为与无关的定值,若是请求出定值;若不为定值,请说明理由;

    (3)若斜率为的直线为椭圆的切线,且交椭圆于点两点,为椭圆上的任意一点(点与点不重合),求面积的最大值(用字母表示).

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 已知函数,(为自然对数的底数).

    (1)若曲线在坐标原点处的切线相同,问:

    (ⅰ)求的最小值;

    (ⅱ)若时,恒成立,试求实数的取值范围;

    (2)若有两个不同的零点,对任意,证明:的导函数).

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 如图所示,锐角三角形的内心为,过点作直线的垂线,垂足为,点为圆与边的切点.

    (1)求证:四点共圆;

    (2)若,求的度数.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 已知圆为参数)和直线(其中为参数,为直线的倾斜角).

    (1)当时,求圆上的点到直线的距离的最小值;

    (2)当直线与圆有公共点时,求的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 已知.

    (1)求的最小值;

    (2)若的最小值为2,求的最小值.

    难度: 中等查看答案及解析