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本卷共 22 题，其中：
选择题 12 题，填空题 4 题，解答题 6 题
简单题 14 题，中等难度 4 题，困难题 4 题。总体难度: 简单
选择题 共 12 题

  1. 设复数 ，则（　　 ）

    A．　　　　　　　　 　　　 B．　　　　　　 　　　 C．　　　　 　　　 D．2

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 下列使用类比推理所得结论正确的是（　　 ）

    A．直线，若，则．类推出：向量，若，则

    B．同一平面内，直线，若，则．类推出：空间中，直线，若，则．

    C．实数，若方程有实根，则．类推出：复数，若方程有实数根，则．

    D．以点为圆心，为半径的圆的方程是．类推出：以点为球心，为半径的球的方程是．

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 设某大学的女生体重（单位：kg）与身高（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（　　 ）

    A．与具有正的线性相关关系

    B．回归直线过样本点的中心

    C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

    D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 若直线与的图象有三个不同的交点，则实数的取值范围是（　　 ）

    A．　　　　　　

    B．　　　　　　

    C．　　　　　　

    D．

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 四名同学报名参加三项课外活动，每人限报其中的一项，不同报名方法共有（　　 ）

    A．12　　　　　　 　　　 B．64　　　　　　　　 　　　 C．81　　　　　　 　　　 D．7

    难度: 中等查看答案及解析

  6. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（　　 ）

    A．300　　　　　　　　 　　　 B．216　　　　　　 　　　 C．180　　　　　 　　　 D．162

    难度: 简单查看答案及解析

  7. 设函数在内不单调，则实数的取值范围是（　　 ）

    A．　　 　　　 B．　　 　　　 C．　 　　　 D．

    难度: 简单查看答案及解析

  8. 某校篮球比赛规则如下：选手若能连续命中两次，即停止投篮，晋级下一轮，假设某选手每次命中率都是0.6，且每次投篮结果相互独立，则该选手恰好投篮4次晋级下一轮的概率为（　　 ）

    A．　　　　　 　　　 B．　　　　 　　　 C．　　　　 　　　 D．

    难度: 简单查看答案及解析

  9. 将一枚质地均匀的骰子先后拋两次，设事件{两次点数互不相同}，{至少出现一次3点}，则（　　 ）

    A．　　　　　　　　 　　　 B．　　　　　　　 　　　 C．　　　　　 　　　 D．

    难度: 简单查看答案及解析

  10. 不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（　　 ）

    A．　　　　　

    B．　　　　　

    C．　　　　

    D．

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 下列五个命题，其中正确命题的个数为（　　 ）

    ①已知，则

    ②过原点作直线的切线，则切线方程为

    ③已知随机变量，且，则

    ④已知为正整数，用数学归纳法证明等式时，若假设时，命题为真，则还需利用归纳假设再证明时等式成立，即可证明等式对一切正偶数都成立

    ⑤在回归分析中，常用来刻画回归效果，在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近1，表示回归的效果越好

    A．2　　　　　　　　 　　　 B．3　　　　　　　　 　　　 C．4　　　　　　 　　　 D．5

    难度: 简单查看答案及解析

  12. 设函数其中存在正数，使得成立，则实数的值是（　　 ）

    A．　　　　　　　　　　 　　　 B．　　　　　　 　　　 C．　　　　　　　 　　　 D．1

    难度: 困难查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 已知随机变量服从正态分布，，则的值为　　　　　　　　 ．

    难度: 困难查看答案及解析

  2. 某单位为了了解用电量（千瓦时）与气温（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

    气温/℃

    18

    13

    10

    -1

    用电量/千瓦时

    24

    34

    38

    64

    由表中数据得到线性回归方程中，预测当气温为-4℃时，用电量的度数约为　　　　　　　　　 ．

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 已知的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为　　　　　　　　 ．（用数字作答）

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 在矩形中，对角线与相邻两边所成角分别为，则有，类比到空间中的一个正确命题是：在长方体中，对角线与相邻两边所成角分别为，则有　　　　　　　　 ．

    难度: 简单查看答案及解析

解答题 共 6 题

  1. 已知函数．

    （1）解不等式；

    （2）若存在实数使得，求实数的取值范围．

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．

    （1）把曲线的参数方程化为极坐标方程；

    （2）曲线与曲线交于、，曲线与曲线交于、，求．

    难度: 困难查看答案及解析

  3. 某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答.

    （1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；

    （2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分的分布列与数学期望.

    难度: 困难查看答案及解析

  4. 近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：

    患心肺疾病

    不患心肺疾病

    合计

    男

    5

    女

    10

    合计

    50

    已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为．

    （1）请将上面的列联表补充完整；

    （2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；

    （3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为，求的分布列、数学期望．

    参考公式：

    ，其中

    下面的临界值表仅供参考：

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量 （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

    （1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；

    （2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：

    年入流量

    发电机最多可运行台数

    1

    2

    3

    若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值（期望）达到最大，应安装发电机多少台？

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 已知函数．

    （1）当时，求的单调区间；

    （2）若时，恒成立，求的取值范围；

    （3）试比较与的大小关系，并给出证明．

    参考公式：

    难度: 简单查看答案及解析