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本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 6 题，中等难度 16 题，困难题 1 题。总体难度: 简单
单选题 共 12 题

  1. 已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的（　　 ）

    A. 第一象限　　 B. 第二象限　　 C. 第三象限　　 D. 第四象限

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 设集合，，则（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  3. 函数的大致图像是（　　 ）

    A. 　　 B.

    C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  4. 已知等边内接于，为线段的中点，则（　　 ）

    A. 　　 B.

    C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  5. 某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 简单查看答案及解析

  6. 若在上是增函数，则的最大值为（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 如图，边长为的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（　　 ）

    A. 　　 B.

    C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  8. 如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 2　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  9. 已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（　　 ）

    A. 1　　 B. 2　　 C. 3　　 D. 4

    难度: 中等查看答案及解析

  10. 在中，角的对边分别是若，则的最小值为(　 )

    A.  B.  C.  D.

    难度: 中等查看答案及解析

  11. 如图，在等腰中，斜边，为直角边上的一点，将沿直线折叠至的位置，使得点在平面外，且点在平面上的射影在线段上设，则的取值范围是（　　 ）

    A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

    难度: 中等查看答案及解析

  12. 设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则（　　 ）

    A. 　　 B. 以为直径的圆的面积大于

    C. 直线过抛物线的焦点　　 D. 到直线的距离不大于2

    难度: 中等查看答案及解析

填空题 共 4 题

  1. 设，满足约束条件，则的最大值为__．

    难度: 简单查看答案及解析

  2. 某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_______．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.已知满足 .且，则用以上给出的公式可求得的面积为____．

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 设函数，若函数有4个零点，则的取值范围为__．

    难度: 中等查看答案及解析

解答题 共 7 题

  1. 已知等比数列为递增数列，且，，数列的前项和为，，，.

    （1）求数列和的通项公式；

    （2）设，求数列的前项和为.

    难度: 中等查看答案及解析

  2. 如图，在四棱锥中，，，，且，．

    （1）证明：平面；

    （2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．

    难度: 中等查看答案及解析

  3. 为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证.某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查，其中男生60人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占，而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣.

    （1）试完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”？

    有兴趣

    没兴趣

    合计

    男生

    女生

    合计

    （2）已知在被抽取的女生中有6名高一（1）班的学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率.

    （3）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以上游泳比赛中获奖，如下表所示.若从高一（8）班和高一（9）班获奖学生中各随机选取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.

    班级

    市级比赛

    获奖人数

    2

    2

    3

    3

    4

    4

    3

    3

    4

    2

    市级以上比赛获奖人数

    2

    2

    1

    0

    2

    3

    3

    2

    1

    2

    0.500

    0.400

    0.250

    0.150

    0.100

    0.050

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    0.455

    0.708

    1.323

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    .

    难度: 中等查看答案及解析

  4. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，过且垂直于轴的直线交椭圆于、两点，若.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，且分别交直线和直线于、两点，试求的值.

    难度: 中等查看答案及解析

  5. 已知函数.

    （1）试讨论函数的导函数的零点个数；

    （2）若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

    难度: 困难查看答案及解析

  6. 选修4-4：坐标系与参数方程

    在直角坐标系中，曲线（为参数），直线（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

    （1）求曲线与直线的极坐标方程（极径用表示，极角用表示）；

    （2）若直线与曲线相交，交点为、，直线与轴也相交，交点为，求的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析

  7. 选修4-5：不等式选讲

    已知函数.

    （1）画出函数的图象；

    （2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.

    难度: 中等查看答案及解析