北京市海淀八模2019届高三理科数学模拟测试卷（二）

试卷详情

本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 9 题，中等难度 9 题，困难题 5 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

已知集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 简单查看答案及解析
已知复数在复平面内对应点是，为虚数单位，则（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
等比数列中，若，且成等差数列，则其前5项和为（　　）
A. 30　　 B. 32　　 C. 62　　 D. 64

难度: 简单查看答案及解析
如图给出的是2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（　　）
A. 2000年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关
B. 2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大
C. 2008年以来我国实际利用外资同比增速最大
D. 2010年以来我国实际利用外资同比增速最大

难度: 简单查看答案及解析
如图，在长方体中，，，点在侧面上，满足到直线和的距离相等的点（　　）
A. 不存在　　 B. 恰有1个　　 C. 恰有2个　　 D. 有无数个

难度: 中等查看答案及解析
数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的分别为8、2，则输出的（　　）
A. 2　　 B. 3　　 C. 4　　 D. 5

难度: 简单查看答案及解析
[2019·海淀八模]小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5:00-6:00之间送货上门．已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00．快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜收取商品的概率为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 中等查看答案及解析
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（　　）
A. 函数的一条对称轴是
B. 函数的一个对称中心是
C. 函数的一条对称轴是
D. 函数的一个对称中心是

难度: 简单查看答案及解析
设函数，，“是偶函数”是“的图象关于原点对称”（　　）
A. 充分不必要条件　　 B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　 D. 既不充分也不必要条件

难度: 简单查看答案及解析
已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆、两点，若的最大值为5，则b的值为（　　）
A. 1　　 B. 　　 C. 　　 D. 2

难度: 中等查看答案及解析
已知过球面上三点、、的截面到球心距离等于球半径的一半，且，，则球面面积为（　　）
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

难度: 困难查看答案及解析
数学上称函数（，，）为线性函数.对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值： .利用这一方法，的近似代替值（　　）
A. 大于　　 B. 小于　　 C. 等于　　 D. 与的大小关系无法确定

难度: 困难查看答案及解析

填空题共 4 题

设满足约束条件，则的最小值为__________．

难度: 简单查看答案及解析
已知向量满足，，，则向量在向量上的投影为__________．

难度: 中等查看答案及解析
已知双曲线的右焦点为，左顶点为.以为圆心，为半径的圆交的右支于、两点，的一个内角为60°，则的离心率为__________．

难度: 中等查看答案及解析
已知数列满足，，表示不超过的最大整数（如，记，数列的前项和为）.
①若数列是公差为1的等差数列，则__________；
②若数列是公比为的等比数列，则__________．

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 7 题

在中，内角、、的对边分别为，，.若的面积为，且，.
（1）求角的大小；
（2）若，求角的大小.

难度: 简单查看答案及解析
（本小题满分12分）
在如图所示的多面体中，平面，，，，，，，是的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

难度: 中等查看答案及解析
（本小题满分13分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3　　 5　　 3　　 3　　 8　　 5　　 5　　 6　　 3　　 4
6　　 3　　 4　　 7　　 5　　 3　　 4　　 8　　 5　　 3
8　　 3　　 4　　 3　　 4　　 4　　 7　　 5　　 6　　 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.
在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.
注：（1）产品的“性价比”=；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性.

难度: 中等查看答案及解析
已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.
（1）求该抛物线的方程；
（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.

难度: 困难查看答案及解析
已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数存在两个极值点且满足，求的取值范围.

难度: 困难查看答案及解析
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的坐标方程为，若直线与曲线相切.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）在曲线上取两点、于原点构成，且满足，求面积的最大值.

难度: 中等查看答案及解析
若，且.
（1）求的最小值；
（2）是否存在，使得的值为？并说明理由.

难度: 简单查看答案及解析