2020届广东省中山市高三上学期期末数学（理）试卷

试卷详情

本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 10 题，中等难度 8 题，困难题 5 题。总体难度: 简单

单选题共 12 题

集合，，则（　　）
A. B.
C. D.

难度: 简单查看答案及解析
已知是虚数单位，复数满足，则（　　）
A. B. C. D.5

难度: 简单查看答案及解析
计算的结果为（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是　　
A. B.
C. D.

难度: 中等查看答案及解析
若,则(　　　 )
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知满足不等式组则的最小值为（　）
A.2 B. C. D.1

难度: 简单查看答案及解析
电路从到上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率为，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从到连通的概率是（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
有名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（　　）
A.种 B.种 C.种 D.种

难度: 简单查看答案及解析
已知函数的最小正周期是，若，则（　　）
A. B. C.1 D.-1

难度: 简单查看答案及解析
我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球体积为（　　）
A. B. C. D.

难度: 困难查看答案及解析
已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，若，则的最小值为（　　）
A.9 B.12 C.16 D.18

难度: 困难查看答案及解析
若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（　　）
A. B. C. D.1

难度: 困难查看答案及解析

填空题共 4 题

等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则：__________.

难度: 简单查看答案及解析
已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是_____.

难度: 中等查看答案及解析
已知，则的值为　　　　　 .

难度: 简单查看答案及解析
已知函数，若有，则实数的取值范围是__________．

难度: 困难查看答案及解析

解答题共 7 题

设为数列的前项和，已知，.
（1）证明为等比数列；
（2）判断，，是否成等差数列？并说明理由.

难度: 中等查看答案及解析
已知的三个内角，，所对的边分别为，，.
（1）若，求；
（2）若，试判断的形状.

难度: 困难查看答案及解析
如图，在三棱台中，二面角是直二面角，，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．

难度: 中等查看答案及解析
已知函数.
（1）若在上单调，求的取值范围.
（2）若的图像恒在轴上方，求的取值范围.

难度: 中等查看答案及解析
某种零件的质量指标值为整数，指标值为8时称为合格品，指标值为7或者9时称为准合格品，指标值为6或10时称为废品，某单位拥有一台制造该零件的机器，为了了解机器性能，随机抽取了该机器制造的100个零件，不同的质量指标值对应的零件个数如下表所示；

质量指标值

6

7

8

9

10

零件个数

6

18

60

12

4

使用该机器制造的一个零件成本为5元，合格品可以以每个元的价格出售给批发商，准合格品与废品无法岀售.
（1）估计该机器制造零件的质量指标值的平均数；
（2）若该单位接到一张订单，需要该零件2100个，为使此次交易获利达到1400元，估计的最小值；
（3）该单位引进了一台加工设备，每个零件花费2元可以被加工一次，加工结果会等可能出现以下三种情况：①质量指标值增加1，②质量指标值不变，③质量指标值减少1.已知每个零件最多可被加工一次，且该单位计划将所有准合格品逐一加工，在（2）的条件下，估计的最小值（精确到0.01） .

难度: 中等查看答案及解析
在直角坐标系中,曲线经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的参数方程;
(2)若分别是曲线上的动点,求的最大值.

难度: 简单查看答案及解析
已知，且、、都是正数.
（1）求证：；
（2）求证：.

难度: 中等查看答案及解析

质量指标值	6	7	8	9	10
零件个数	6	18	60	12	4