湖南省长沙市2019-2020学年高三上学期第六次月考数学（理）试卷

试卷详情

本卷共 23 题，其中：
单选题 12 题，填空题 4 题，解答题 7 题
简单题 5 题，中等难度 13 题，困难题 5 题。总体难度: 中等

单选题共 12 题

设集合，，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 简单查看答案及解析
设为虚数单位，若是纯虚数，则（　　）
A. B. C.1 D.

难度: 简单查看答案及解析
已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：
根据该折线图可知，下列说法错误的是（　　）
A. 该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高
B. 该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C. 该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D. 该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元

难度: 简单查看答案及解析
已知，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知，满足，则（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
函数的图象大致形状为（　　）
A. B.
C. D.

难度: 简单查看答案及解析
公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
函数，，，且在上单调，则下列说法正确的是(　　　 )
A. B.
C.函数在上单调递增 D.函数的图象关于点对称

难度: 困难查看答案及解析
中，，满足，则的面积的最大值为（　　）
A. B.2 C. D.

难度: 中等查看答案及解析
已知双曲线：（，），，分别为其左、右焦点，为坐标原点，若点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率是（　　）
A. B. C. D.

难度: 中等查看答案及解析
在正方体中，，分别为，上的动点，且满足，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是（　　）．
①存在，的某一位置，使　　　　　
②的面积为定值
③当时，直线与直线一定异面　　　　　
④无论，运动到何位置，均有
A.①②④ B.①③ C.②④ D.①③④

难度: 中等查看答案及解析
若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围是（　　）
A. B. C. D.

难度: 困难查看答案及解析

填空题共 4 题

若ax2+的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.

难度: 简单查看答案及解析
在菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为_________．

难度: 中等查看答案及解析
已知数列满足，，，则(1)________，
(2)_____________.

难度: 困难查看答案及解析
如图，哈尔滨市有相交于点的一条东西走向的公路与一条南北走向的公路，有一商城的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路，点分别在公路上，且要求与椭圆形商城相切，当公路长最短时，的长为________千米.

难度: 中等查看答案及解析

解答题共 7 题

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的值；
（2）若△ABC的面积为，设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值．

难度: 中等查看答案及解析
已知正方形ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，使△ACD为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为.
（1）证明：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上；
（2）求角的正弦值.

难度: 中等查看答案及解析
如图，已知椭圆的长轴，长为4，过椭圆的右焦点作斜率为（）的直线交椭圆于、两点，直线，的斜率之积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线，直线，分别与相交于、两点，设为线段的中点，求证：.

难度: 中等查看答案及解析
已知函数.
（1）当时，求函数在区间上的值域.
（2）对于任意，都有，求实数的取值范围.

难度: 困难查看答案及解析
随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次类推；y表示人数)：

x

1

2

3

4

5

y(万人)

20

50

100

150

180

（1）试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；
（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从到）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附：在线性回归方程中，.

难度: 困难查看答案及解析
己知直线的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为，直线与曲线C交于A、B两点，点．
（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求的值．

难度: 中等查看答案及解析
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）证明：．

难度: 中等查看答案及解析

x	1	2	3	4	5
y(万人)	20	50	100	150	180